Gioco cooperativo

In teoria dei giochi si distingue tra giochi cooperativi e giochi non cooperativi.

Nei giochi cooperativi esiste la possibilità che i giocatori stipulino degli accordi vincolanti, mentre questo non accade nei giochi non cooperativi.

IntroduzioneModifica

I giochi a   giocatori hanno una natura diversa rispetto ai giochi a somma nulla (a due giocatori), nei quali gli interessi dei due giocatori sono in opposizione tra loro, in conflitto diretto. Nei giochi a tre o più giocatori può comparire la cooperazione. La decisione (strategia) di un partecipante può essere svantaggiosa per entrambi gli altri giocatori, oppure vantaggiosa per uno e svantaggiosa per l’altro: la possibilità di un "parallelismo" nelle decisioni tra i giocatori conduce alla formazione di coalizioni. La teoria dei giochi cooperativi esamina i giochi in cui i giocatori si accordano per formare coalizioni, ossia per formare uno dei possibili sottoinsiemi costituito da   degli   partecipanti al gioco.

Le coalizioniModifica

Il numero di coalizioni possibili costituibili da un insieme   di   giocatori è pari a  . Ai fini pratici una coalizione   si considera come un singolo giocatore: i restanti giocatori   si riuniranno in un'altra coalizione che costituirà la così detta colazione opposta. Sotto questo punto di vista, assegnata una qualsiasi coalizione  , nel gioco si troveranno in lotta due colazioni   e   ed il gioco potrà essere inteso come un gioco antagonista tra due “persone’’. Quando   il gioco di riduce al un gioco di una persona singola dove le decisioni possibili della coalizione avversa   si riducono alla sola ed unica strategia: quella di non fare nulla. Stesso discorso vale qualora si avesse  

Assegnata la coalizione  , con  , la relativa matrice dei pagamenti e costituita la contro-coalizione  , con matrice dei pagamenti  , il gioco tra i due può dunque essere ricondotto a

  • un gioco a somma costante e dunque a somma nulla allorquando   ovvero  ,
  • un gioco a somma non costante, cioè a doppia matrice  .

Il valore di una coalizione   viene misurato tramite la funzione caratteristica, cioè per mezzo di una funzione   a valori reali definita sull’insieme di tutti i sottoinsiemi   tale che

  = valore del gioco per la coalizione  

Si indichi con   e   le strategie miste rispettivamente della coalizione   e della coalizione opposta  . In sostanza   è la vincita minima che la coalizione   si assicura mediante la scelta di un’appropriata strategia maximin

 

allorquando la coalizione avversa   fa di tutto per impedirgli di ottenere una vincita superiore a   minimizzando le proprie perdite mediante la scelta di un’opportuna strategia minimax:

 

Il teorema del minimax garantisce che   e poiché   necessariamente risulta  .

In un gioco a somma non costante il teorema del minimax non sussiste: massimizzare le proprie vincite non è la stessa cosa di minimizzare le vincite dell’avversario in quanto un giocatore dovrebbe ignorare le vincite che potrebbe conseguire (guardando alla matrice  ) per concentrare tutti i suoi sforzi nel recare il maggior danno al giocatore avversario (guardando cioè alla matrice  ). Premesso ciò, resta inteso che anche nel caso di giochi a somma non nulla, la liquidazione del gioco può essere intesa come la somma corrispondente al valore di un gioco a somma zero una volta che si ipotizzi che la contro-coalizione   agisca minimizzando la vincita della coalizione   in riferimento alla matrice  , piuttosto che massimizzando il proprio guadagno in riferimento alla matrice  .

Le imputazioniModifica

La teoria dei giochi cooperativi cerca di rispondere ad una domanda fondamentale: come la vincita o la perdita conseguita da una coalizione venga ripartita, allocata tra i suoi membri.

Le allocazioni possono essere concordate attraverso negoziazioni anteriori alla formazione della coalizione stessa. In merito all’allocazione del risultato del gioco, è ragionevole pensare che nessun membro sarebbe soddisfatto se ricevesse meno di quanto otterrebbe agendo da solo, ossia non aderendo alla coalizione. Indicato con   il vettore ad n-componenti indicante l’allocazione delle vincite all’interno di una coalizione generica   dove   indica l’ammontare che riceverà il giocatore   affiliato alla coalizione  , von Neumann e Morgenstern (Ref.) caratterizzano il vettore   con le due seguenti proprietà (vincoli):

1.  per ogni  
2. 

La proprietà 1. (razionalità individuale) afferma che ogni membro riceve almeno tanto quanto potrebbe ottenere da solo  , la proprietà 2. (efficienza) afferma che la vincita che i giocatori possono raggiungere cooperando tutti insieme è  : la vincita della grande-coalizione   viene interamente suddivisa tra tutti i giocatori. L'insieme di tutti i vettori che soddisfano le due condizioni sopra introdotte verrà denotato con   ed i suoi elementi verranno chiamati imputazioni. L'insieme   può essere pensato come un sottoinsieme di uno spazio vettoriale euclideo di dimensione pari a   . Il concetto di imputazione di per sé non stabilisce quali imputazioni incentivino i propri membri ad abbandonare la grande-coalizione   per costituire coalizioni più piccole  , in particolare quando la funzione caratteristica   è super-additiva.

Gioco non essenzialeModifica

Diversamente, se il gioco presenta una funzione caratteristica   additiva,  , come ad esempio nel caso dei giochi a somma costante o nulla, si dimostra che

 

Per i giocatori scegliere di belligerare tutti contro tutti oppure optare di schierarsi con una coalizione è una scelta fondata sulla convenienza, mentre scegliere di cooperare tutti insieme in   condividendo le proprie strategie appare essere una scelta non dettata essenzialmente da una ratio di guadagno.

Gioco essenzialeModifica

Qualsiasi funzione caratteristica   super-additiva ammette almeno un’imputazione  .

Nella definizione di super-additività:  , per ogni   con   e  , è sufficiente considerare   e scegliere   per ogni   per avere

 

Definendo per ciascun  

 

si può vedere facilmente che   è un’imputazione, ossia che   per ogni   e che  

La relazione di dominanza tra le imputazioniModifica

Il concetto di imputazione appare troppo ampio per consentire di rispondere deterministicamente alla domanda iniziale: come la vincita viene distribuita tra i propri membri. Ogni qualvolta infatti dovesse risultare per una generica coalizione   che

 

allora ai membri di   si renderebbe disponibile la quota eccedente   -  . Tale ammontare potrebbe essere ripartito tra i membri di   che si troverebbero così dinnanzi ad una seconda imputazione   più vantaggiosa dell’imputazione precedente  . In sintesi   è preferibile ad  .

La nozione di dominanza tra imputazioni viene espressa in termini rigorosi dalla seguente definizione: in riferimento alla medesima funzione caratteristica   e rispetto al sottoinsieme   di  , un’imputazione   domina l’imputazione   , in simboli  , se:

1.  
2.   per ciascun  
3.  

Rimane pertanto da verificare se effettivamente ogni sottoinsieme   riceve almeno tanto quanto garantito dalla cooperazione, formalmente se   per qualsiasi scelta di  .

Enunciato di von NeumannModifica

Data un’imputazione   si ha che   se, e soltanto se,   non è dominata da alcuna altra imputazione  . Una formulazione alternativa all’enunciato sopra riportato è la seguente: data un’imputazione   per la funzione caratteristica  , esiste un sottoinsieme qualsiasi   di   tale che   se, e soltanto se, esiste un’imputazione   che domina   rispetto a  ,  .

La formazione delle sotto-coalizioniModifica

Vediamo ora come i membri della grande-coalizione   costituiscano coalizioni più piccole   rinunciando a cooperare in   nel caso in cui la funzione caratteristica   sia super-additiva.

L'esistenza di un insieme   per cui si abbia   ha come conseguenza il fatto che alcuni membri di  , individuati come elementi di  , rilevano che l'imputazione   è dominata da un’imputazione  . Questi giocatori si distaccheranno dalla grande-coalizione per costituire la coalizione più piccola  , i giocatori rimasti in   simultaneamente rilevano che   e formeranno la coalizione  .

Si consideri, ad esempio, l'imputazione

  per  

ipotizzato che  , si prenda  0 < e si consideri   per ciascun  .

L'allocazione che spetta alla coalizione antagonista risulta quindi essere   per   dove  

Si constata immediatamente che il vettore   è un'imputazione: infatti   per ogni   e   poiché

 

Infine, poiché risulta   per ciascun     si può concludere che  .

Soluzioni nel senso di Von Neumann-MorgensternModifica

Tramite il concetto di imputazione e di dominanza Von Neumann e Morgenstern definirono la soluzione di un gioco ad n-persone come quell’insieme   di imputazioni che gode delle due seguenti proprietà:

1. per ciascuna imputazione   esiste un’imputazione   che domina  ,  ;
1. nessuna coppia di imputazioni di   domina l’una sull’altra.

In letteratura ci si riferisce alle due proprietà come a condizioni di stabilità per l'insieme   delle soluzioni: in sostanza le imputazioni che costituiscono equilibri stabili per i giocatori sono soluzioni del gioco. Il concetto di soluzione nel senso di von Neumann non cattura un'unica e ben specifica imputazione del gioco: in generale l'insieme   delle soluzioni possibili è costituito da numerose imputazioni.

La situazione in cui la somma dell’ammontare ricevuto da ogni membro di   è non inferiore alla liquidazione che la coalizione riceve per sé condusse ad approfondire il concetto di nucleo, ossia l’insieme delle imputazioni non dominate.

Il nucleo del giocoModifica

Le imputazioni soddisfacenti al vincolo   si dicono costituire il nucleo (core) dell’insieme delle imputazioni  :

 

Il nucleo per il momento non sembra essere ancora in grado di "catturare" la o le soluzioni dei giochi cooperativi, piuttosto costituirebbe un metodo per scartare le imputazioni che generebbero conflitti all’interno della grande coalizione  .

Un nucleo non vuoto indica semplicemente quali imputazioni non si devono scegliere: quelle che non risiedono nel nucleo. In generale può tuttavia accadere che il nucleo sia vuoto   (come ad esempio nei giochi a somma costante) oppure che le imputazioni del nucleo siano ancora in numero elevato.

Il nucleo è il concetto chiave attraverso il quale analizzare i giochi cooperativi: giochi in cui i giocatori non hanno motivo di separarsi in coalizioni antagoniste, ma la strategia ottimale è cooperare tutti insieme. La matematica sovietica Olga Bondareva fornì condizioni necessarie e sufficienti affinché il nucleo di un gioco cooperativo sia non vuoto.

Collegamenti esterniModifica

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