Apri il menu principale

Funzione (matematica)

relazione matematica binaria
Rappresentazione di una funzione che associa i valori del dominio X ai valori del codominio Y

In matematica, una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio della funzione, che associa a ogni elemento del dominio uno e un solo elemento del codominio.

Se i due insiemi sono rispettivamente indicati con e , la relazione è indicata con e l'elemento associato a tramite la funzione viene abitualmente indicato con (si pronuncia "effe di x").

Indice

DescrizioneModifica

La parola funzione quindi non si riferisce alla sola relazione, ma alla terna: relazione, domino e codominio. Per esempio: la funzione che associa a un numero naturale la radice quadrata di quel numero è diversa dalla funzione che associa a un numero intero la radice quadrata di quel numero (a seconda di come è definito il codominio, la seconda potrebbe non essere neppure un'associazione corretta).

Si dice che   è l'argomento della funzione, oppure un valore della variabile indipendente, mentre   è un valore della variabile dipendente della funzione.

Sinonimi del termine funzione sono applicazione e mappa. Il termine trasformazione viene utilizzato spesso in ambito geometrico per indicare una funzione   invertibile e che conserva le proprietà geometriche di  , mentre operatore è talvolta utilizzato nella trattazione di funzioni lineari tra spazi vettoriali.

Le funzioni hanno un ruolo molto importante in tutte le scienze esatte. Il concetto di dipendenza funzionale tra due grandezze sostituisce infatti, all'interno delle teorie fisiche e matematiche, quello di causa-effetto, che, al contrario del precedente, non riguarda gli enti teorici ma direttamente gli elementi della realtà concreta. Se si afferma, ad esempio, che la pressione di una certa quantità di gas perfetto è funzione della sua temperatura e del suo volume si sta facendo un'affermazione interna a un modello termodinamico, mentre il rapporto di causa-effetto che viene individuato fra le tre grandezze dipende in modo sostanziale dalle possibilità di intervento concreto su di esse. Rimanendo a questo esempio, il valore della pressione viene visto più spesso come conseguenza del valore degli altri due parametri, poiché è generalmente molto più facile intervenire sul volume e sulla temperatura che direttamente sulla pressione.

EsempiModifica

Gli esempi più semplici di funzione sono quelli per cui sia il dominio che il codominio sono insiemi numerici. Per esempio, se a ogni numero naturale si associa il doppio di tale numero, si ha una funzione, il cui dominio è dato dai naturali e il cui codominio è costituito dai naturali pari.

Tuttavia si parla di funzione anche quando il dominio o il codominio, o entrambi, non sono insiemi numerici. Se, per esempio, a ogni triangolo del piano si associa il cerchio in esso inscritto, si ha ugualmente una funzione, in quanto per ogni triangolo esiste uno e un solo cerchio in esso inscritto.

Inoltre spesso si parla di funzioni con più argomenti, o con più valori: per esempio la funzione che alle coordinate   di un punto nello spazio fa corrispondere temperatura   e pressione   dell'aria. In tal caso, la funzione ha in realtà sempre un solo argomento, che è la terna   e ha sempre un solo valore, che è la coppia  

DefinizioneModifica

Dati due insiemi non vuoti   e  , si chiama funzione da   in   una relazione   tale che per ogni   esiste uno ed un solo elemento   tale che  . Tale elemento tradizionalmente si denota con  : in altre parole, invece di scrivere   si può usare la scrittura più tradizionale:

 

Il fatto che   sia una funzione da   in   che associa a   l'elemento   si può esprimere con la scrittura:

 

L'insieme   (da cui la funzione   "prende" i valori) è il dominio della funzione  , mentre l'insieme   (in cui si trovano i valori "restituiti" dalla funzione  ) è il codominio della funzione  .[1]

Le espressioni "prendere un valore" e "restituire un valore" fanno riferimento a un modello meccanico delle funzioni, rappresentate come meccanismi che, fornito loro un elemento del dominio, lo "trasformano" nel corrispondente elemento del codominio.

Immagine e controimmagineModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Immagine (matematica).

Data una funzione   di dominio   e codominio   comunque scelto un elemento   del dominio, si chiama immagine di   il corrispondente elemento del codominio, indicato con   Analogamente, se   è un elemento del codominio che sia immagine di un elemento   del dominio, cioè se  , si dice che   è una controimmagine di   Mentre a ogni elemento del dominio di   è assegnata una e una sola immagine, è possibile che un elemento nel codominio possegga diverse controimmagini, o che non ne possieda affatto. Si definisce quindi "controimmagine" dell'elemento   l'insieme

 .

Se   per ogni   si dice che   è suriettiva, mentre se   contiene al più un elemento per ogni   si dice che   è iniettiva. Se valgono entrambe le condizioni,   è detta biiettiva o biunivoca.

L'insieme

 

degli elementi   del codominio per i quali esiste almeno un   nel dominio che ha   come immagine è detto immagine di   e si denota con   o con  .[2]

Altre notazioni per le funzioniModifica

Per il valore di una funzione   corrispondente a un elemento  , denotabile con la notazione tradizionale  , vengono usate anche altre due scritture.

Per quella che chiamiamo notazione a funzione prefissa si pone

 

Per quella che chiamiamo notazione a funzione suffissale si pone

 

A volte al posto delle parentesi tonde si usano parentesi quadrate:

 

In questo modo si evitano confusioni con le parentesi che indicano l'ordine delle operazioni. Questa notazione è usata da alcuni programmi di calcolo simbolico.

Nelle funzioni di due variabili si usa talvolta la notazione infissa, ossia

 

ad esempio, nelle usuali operazioni di addizione e sottrazione si usa scrivere   e   invece di   e  

Estensione e restrizione di una funzioneModifica

Data una funzione   e un insieme   tale che  , si dice che la funzione   è un'estensione di f all'insieme   se

 

dove   è l'inclusione di   in  , data da  . Si dice viceversa che   è la restrizione di   all'insieme  .

La restrizione di una funzione   a un insieme   contenuto nel suo dominio è abitualmente indicata con  .

Funzioni di due o più variabiliModifica

Quando il dominio di una funzione   è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, e dunque la funzione agisce su  -uple di elementi di insiemi, allora l'immagine del vettore di questi elementi   viene indicata con la notazione

 

In questo caso la funzione viene anche chiamata funzione di vettore. A tal proposito in fisica si parla di campo.

Per esempio, si consideri la funzione di moltiplicazione che associa un vettore di due numeri naturali   e   al loro prodotto:  . Questa funzione può essere definita formalmente come avente per dominio  , l'insieme di tutte le coppie di numeri naturali; si noti inoltre che in questo caso la funzione è simmetrica rispetto alle componenti del vettore:   e quindi si tratta di una funzione di un insieme   in cui non importa cioè l'ordine degli elementi. Sono inoltre possibili anche altri raggruppamenti delle variabili: per esempio risulta estremamente importante nello studio dei sistemi di equazioni differenziali la teoria della funzione di matrice:

 

Operazioni binarieModifica

Molte operazioni binarie dell'aritmetica, come l'addizione e la moltiplicazione, sono funzioni dal prodotto cartesiano   a valori in  , e vengono descritte tramite la notazione infissa: si scrive cioè   (e non  ) per descrivere l'immagine della coppia   tramite l'operazione  .[3]

Questa notazione è stata generalizzata dall'algebra moderna, per definire strutture algebriche come ad esempio quella di gruppo, come un insieme   dotato di alcune operazioni binarie aventi determinate proprietà.

Funzioni a più valoriModifica

Se il codominio di una funzione   è il prodotto cartesiano di due o più insiemi, questa può essere indicata come funzione vettoriale. Tali variabili spesso vengono aggregate in un vettore; a tal proposito in fisica si parla di campo vettoriale.

Un esempio tipico è dato da una trasformazione lineare del piano, ad esempio:

 .

Una funzione è invece detta polidroma nel caso in cui esista almeno un elemento del dominio cui corrisponde più di un elemento del codominio. In effetti tali funzioni non rientrano nella definizione data inizialmente, ma in alcuni campi (ad esempio in analisi complessa) essa viene estesa proprio in questo senso. Un esempio di funzione polidroma è la radice quadrata di un numero reale positivo, che può essere descritta come una funzione

 

che associa a ogni numero reale positivo l'insieme delle sue due radici quadrate. Un esempio analogo è il logaritmo definito sull'insieme dei numeri complessi.[4]

TipologiaModifica

Nella matematica e sostanzialmente in tutte le sue applicazioni si incontrano numerosi tipi di funzioni, che si presentano anche con caratteristiche molto diverse, e che vengono classificate seguendo diversi criteri.

Classificazione puramente insiemisticaModifica

Classificazione delle funzioni nell'ambito della teoria della calcolabilitàModifica

Classificazione delle funzioni nell'ambito dell'analisi matematicaModifica

Alcune funzioni notevoliModifica

Funzioni di interesse probabilistico e statisticoModifica

Operazioni elementari su funzioni di variabile reale a valori realiModifica

Data una funzione   di variabile reale a valori reali e una costante  , su di essa sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari ovvero somma, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza, radice n-esima ovvero:

 
 
 

se   si ha anche

 

se   si ha anche

 

e se   intero maggiore di 1, e se   pari si deve avere anche  , si ha anche

 

Date due funzioni   e   di variabile reale a valori reali sono applicabili le operazioni aritmetiche elementari di cui sopra ovvero:

 
 
 

se   si ha anche

 

se   (o   nel caso in cui  ) si ha anche

 

ComposizioneModifica

Date due funzioni   :   →   e   :   →   si può definire la loro composizione: questa è definita applicando prima   ad   e quindi applicando   al risultato  .

Questa nuova funzione viene denotata con   (si legge: "f composto g").[senza fonte] Riconducendoci alla notazione tradizionale con le due notazioni il risultato della precedente composizione applicato all'elemento x del dominio si può scrivere[5]

 

TraslazioneModifica

Data una funzione   di variabile reale a valori reali e una costante  :

  • la sua traslata rispetto all'asse   verso destra è  
  • la sua traslata rispetto all'asse   verso sinistra è  
  • la sua traslata rispetto all'asse   verso l'alto è  
  • la sua traslata rispetto all'asse   verso il basso è  

SimmetriaModifica

Data una funzione   di variabile reale a valori reali:

  • la simmetrica di   rispetto all'asse y è  
  • la simmetrica di   rispetto all'asse x è  

NoteModifica

  1. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, p. 63.
  2. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, p. 67.
  3. ^ Francesca Dalla Volta, Marco Rigoli, Elementi di matematica discreta e algebra lineare, Pearson Paravia Bruno Mondad, 2007, p. 169.
  4. ^ Gazzola Ferrero Zanotti, Elementi di analisi superiore per la fisica e l'ingegneria, Società Editrice Esculapio, 2007, pp. 127-128.
  5. ^ Andrea Bacciotti, Fulvio Ricci, Analisi matematica, Liguori Editore Srl, 1994, pp. 69-70.

Voci correlateModifica

Altri progettiModifica

Collegamenti esterniModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica