Identità di Bézout

Formula relativa a due numeri e al loro massimo comune divisore

In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se e sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è , allora esistono due interi e tali che

Tali coppie di numeri possono essere determinate con l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate (cioè ne può esistere più d'una).

Per esempio, il massimo comune divisore di e è , e possiamo scrivere

ma anche

In effetti a partire da una soluzione si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare (dove è massimo comune divisore di e ) ammette una soluzione modulo .

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro dominio ad ideali principali. Detto esplicitamente, se è un dominio ad ideali principali, e sono elementi di , e è un massimo comune divisore di e , allora esistono elementi e in tali che . Inoltre i massimi comun divisori di e sono tutti e soli i generatori dell'ideale .

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

GeneralizzazioniModifica

Più numeriModifica

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati   numeri  , se   è il loro massimo comun divisore esiste una  -upla   tale che

 

PolinomiModifica

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se   è un campo, l'anello   è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in   e in  .

Voci correlateModifica

Collegamenti esterniModifica

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