Identità di Bézout

In matematica, in particolare nella teoria dei numeri, l'identità di Bézout (o lemma di Bézout o identità di Bachet-Bézout) afferma che se e sono interi (non entrambi nulli) e il loro massimo comune divisore è , allora esistono due interi e tali che

Tali coppie di numeri possono essere determinate con l'algoritmo esteso di Euclide, ma non sono univocamente determinate.

Per esempio, il massimo comune divisore di e è , e possiamo scrivere

ma anche

In effetti a partire da una soluzione si dimostra, attraverso il lemma di Euclide, che l'insieme delle soluzioni è costituito da elementi del tipo

L'identità di Bézout è equivalente all'asserzione che la congruenza lineare (dove è massimo comune divisore di e ) ammette una soluzione modulo .

L'identità è valida non solo nell'anello degli interi, ma più in generale in qualunque altro anello ad ideali principali. Detto esplicitamente, se è un dominio ad ideali principali, e sono elementi di , e è un massimo comune divisore di e , allora esistono elementi e in tali che .

L'identità di Bézout è così chiamata in onore del matematico francese Étienne Bézout (1730-1783); ad essa viene anche associato il nome del matematico della Savoia Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581-1638), autore della più famosa traduzione in latino dell'Aritmetica di Diofanto.

GeneralizzazioniModifica

Più numeriModifica

Questa stessa proprietà vale per una quantità arbitraria di numeri: dati   numeri  , se   è il loro massimo comun divisore esiste una  -upla   tale che

 

PolinomiModifica

L'identità di Bézout esiste anche per i polinomi a coefficienti in un campo: infatti, se   è un campo, l'anello   è un anello euclideo, e quindi anche un anello ad ideali principali. Ad esempio questa proprietà vale in   e in  .

Voci correlateModifica

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