Identità di Roy

L'identità di Roy, dal nome dell'economista francese René Roy, è in microeconomia il lemma che collega la funzione di domanda walrasiana alla funzione di utilità indiretta.

In particolare, data una funzione di utilità indiretta V(p,w), dove p è il vettore dei prezzi dei beni e w il reddito, l'identità di Roy dice che la quantità domandata del bene i (xi) è uguale a:

Derivazione dell'identità di RoyModifica

L'identità di Roy risulta un'applicazione del teorema dell'inviluppo. In base a tale teorema, dato un problema di ottimizzazione, la derivata della funzione valore rispetto ad un parametro è uguale alla derivata della Lagrangiana rispetto allo stesso parametro.

Nel caso specifico, dato il problema di massimizzazione vincolata dell'utilità:

 

la Lagrangiana corrispondente è:

 

La funzione valore, cioè la funzione che mette in relazione il valore della funzione obiettivo (la funzione di utilità U in questo caso) con i parametri del problema (i prezzi p e il reddito w) è la funzione di utilità indiretta V(p,w).

La derivata parziale della Lagrangiana rispetto al prezzo del bene i è

 

La derivata parziale rispetto al reddito è:

 

per cui si ha:

 

da cui segue:

 

BibliografiaModifica

  • Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; & Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1
  • Roy, René (1947), "La Distribution du Revenu Entre Les Divers Biens", Econometrica, 15, 205-225.

Voci correlateModifica