Se l'operazione binaria
⋅
{\displaystyle \cdot }
è associativa, allora si ha che:
L'inverso destro e l'inverso sinistro di
x
,
{\displaystyle x,}
se esistono, coincidono. Infatti
s
x
=
s
x
⋅
1
=
s
x
⋅
(
x
⋅
d
x
)
=
(
s
x
⋅
x
)
⋅
d
x
=
1
⋅
d
x
=
d
x
.
{\displaystyle s_{x}=s_{x}\cdot 1=s_{x}\cdot (x\cdot d_{x})=(s_{x}\cdot x)\cdot d_{x}=1\cdot d_{x}=d_{x}.}
L'inverso di
x
,
{\displaystyle x,}
se esiste, è unico. Infatti, siano
a
{\displaystyle a}
e
b
{\displaystyle b}
due inversi dell'elemento
x
,
{\displaystyle x,}
allora
a
=
a
⋅
1
=
a
⋅
(
x
⋅
b
)
=
(
a
⋅
x
)
⋅
b
=
1
⋅
b
=
b
.
{\displaystyle a=a\cdot 1=a\cdot (x\cdot b)=(a\cdot x)\cdot b=1\cdot b=b.}
Si indica allora l'unico elemento inverso di
x
{\displaystyle x}
con
x
−
1
.
{\displaystyle x^{-1}.}
L'elemento
x
{\displaystyle x}
è l'inverso di
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
(segue dalla definizione di inverso).
Ogni elemento commuta con il suo inverso. Infatti,
x
⋅
x
−
1
=
1
=
x
−
1
⋅
x
.
{\displaystyle x\cdot x^{-1}=1=x^{-1}\cdot x.}
L'inverso dell'inverso è l'elemento stesso. Infatti, sia
x
{\displaystyle x}
che
(
x
−
1
)
−
1
{\displaystyle (x^{-1})^{-1}}
sono inversi di
x
−
1
{\displaystyle x^{-1}}
. Allora, per l'unicità dell'inverso, abbiamo che
x
=
(
x
−
1
)
−
1
.
{\displaystyle x=(x^{-1})^{-1}.}
Se
x
{\displaystyle x}
e
y
{\displaystyle y}
hanno un inverso, allora l'inverso di
x
⋅
y
{\displaystyle x\cdot y}
è
y
−
1
⋅
x
−
1
.
{\displaystyle y^{-1}\cdot x^{-1}.}
Infatti,
(
x
⋅
y
)
⋅
(
y
−
1
⋅
x
−
1
)
=
x
⋅
(
y
⋅
y
−
1
)
⋅
x
−
1
=
x
⋅
1
⋅
x
−
1
=
x
⋅
x
−
1
=
1.
{\displaystyle (x\cdot y)\cdot (y^{-1}\cdot x^{-1})=x\cdot (y\cdot y^{-1})\cdot x^{-1}=x\cdot 1\cdot x^{-1}=x\cdot x^{-1}=1.}