Inviluppo (matematica)

In matematica, l'inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è la curva tangente a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

Lemniscata di Bernoulli ottenuta per inviluppo di circonferenze. Animazione realizzata in MSWLogo

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano $(x,y)$ è data dalla coppia di equazioni

$F(x,y,t)=0\qquad \qquad (1)$

${\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=0\qquad \qquad (2)$

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Ovviamente deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche $(x(t,p),y(t,p))$, l'inviluppo si ottiene dall'equazione

${\partial x \over \partial t}{\partial y \over \partial p}={\partial y \over \partial t}{\partial x \over \partial p}$

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.

Esempio

Animazione che mostra l'inviluppo di una famiglia di rette a inclinazione negativa

Si consideri il piano cartesiano, I quadrante, e in esso le rette passanti per i punti (0, k – t) e (t, 0), dove k è una costante e la famiglia di rette è generata dal variare del parametro t. La generica equazione di tali rette è y = −(k − t)x/t + k − t, ovvero, in forma implicita:

$F(x,y,t)=t^{2}+t(y-x-k)+kx=0$

Uguagliando a zero la derivata rispetto a t si ha:

${\frac {\partial F(x,y,t)}{\partial t}}=2t+y-x-k=0$

da cui:

$t={\frac {-y+x+k}{2}}$

Sostituendo t nella definizione di F(x,y,t) si ottiene:

$x^{2}-2xy+y^{2}-2kx-2ky+k^{2}=0$

che è l'equazione della curva di inviluppo.

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Collegamenti esterni

• (EN) envelope, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Eric W. Weisstein, Inviluppo, su MathWorld, Wolfram Research.