Inviluppo (matematica)

In matematica, l'inviluppo di una famiglia o di un insieme di curve piane è la curva tangente a ciascun membro della famiglia in almeno un punto.

Lemniscata di Bernoulli ottenuta per inviluppo di circonferenze. Animazione realizzata in MSWLogo [1]

La più semplice espressione analitica di un inviluppo di curve nel piano è data dalla coppia di equazioni

dove la famiglia è implicitamente definita da (1); la (2), in termini informali, individua i punti in cui la F(x,y,t) rimane "costante". Ovviamente deve essere possibile fare la derivata parziale rispetto a t di ciascuna curva della famiglia.

Per una famiglia di curve nel piano definite dalle equazioni parametriche , l'inviluppo si ottiene dall'equazione

dove al variare del parametro p si ottengono le differenti curve della famiglia.

Esempio modifica

 
Animazione che mostra l'inviluppo di una famiglia di rette a inclinazione negativa

Si consideri il piano cartesiano, I quadrante, e in esso le rette passanti per i punti (0, k – t) e (t, 0), dove k è una costante e la famiglia di rette è generata dal variare del parametro t. La generica equazione di tali rette è y = −(k − t)x/t + k − t, ovvero, in forma implicita:

 

Uguagliando a zero la derivata rispetto a t si ha:

 

da cui:

 

Sostituendo t nella definizione di F(x,y,t) si ottiene:

 

che è l'equazione della curva di inviluppo.

Note modifica

  1. ^ Giorgio Pietrocola, Curve storiche, Lemniscata di Bernoulli, su Tartapelago, Maecla, 2005. URL consultato il 26 aprile 2021.

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