Problema a molti corpi

Disambiguazione – Se stai cercando il problema a molti corpi in meccanica classica, vedi Problema degli n-corpi.

In meccanica quantistica si definisce problema a molti corpi la difficoltà di trovare una soluzione esatta alla equazione di Schrödinger per sistemi quantistici contenenti in azione più di una particella, o più in generale corpo.

Il problema è abbastanza generale, dalla fisica nucleare alla fisica della materia condensata. Varie teorie per risolvere il problema a molti corpi sono state proposte dagli anni venti. Fra queste la teoria Hartree-Fock, sviluppatasi poi nell'interazione di configurazione, la teoria di Thomas-Fermi, la teoria quantistica di campo a molti corpi. La teoria del funzionale della densità, una evoluzione della Thomas-Fermi, è anche da considerarsi come una teoria che risolve il problema a molti corpi, ma limitatamente allo stato fondamentale.

Formulazione del problema

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In sistemi contenenti una sola particella come ad esempio l'atomo di Idrogeno o gli atomi Idrogenoidi, la risoluzione esatta della equazione di Schrödinger è relativamente semplice. Anche in sistemi contenenti molte particelle non interagenti, il problema si semplifica. Infatti, l'Hamiltoniana del sistema a molti corpi si può fattorizzare (scrivere come una somma) di   Hamiltoniane di singola particella, dove   è il numero totale di particelle implicate,

 

Una volta risolta l'equazione di Schrödinger per l'Hamiltoniana di singola particella e trovate le funzioni d'onda e i livelli energetici di singola particella (autofunzioni e autovalori dell'Hamiltoniana di singola particella)

 

si può quindi procedere a costruire la funzione d'onda dello stato fondamentale del sistema a molte particelle. Essa infatti sarà data dal prodotto opportunamente simmetrizzato o antisimmetrizzato (a seconda della statistica bosonica o fermionica delle particelle implicate, ovvero se le particelle sono bosoni o fermioni) delle prime   autofunzioni d'onda di singola particella, corrispondenti agli   livelli di singola particella a più bassa energia.

 

Dove P è un operatore di permutazione. L'energia totale di stato fondamentale del sistema sarà infine data dalla somma delle   più basse energie di singola particella.

 

In sistemi contenenti molte particelle interagenti, purtroppo, l'Hamiltoniana non è fattorizzabile in   Hamiltoniane di singola particella a causa del termine di interazione fra le particelle (che sia essa una interazione a due corpi alla volta, a tre o a più),

 

Il problema a molti corpi è presente già al livello di un sistema a due particelle, quale ad esempio l'atomo di elio. Diventa via via più complesso negli atomi più pesanti, nelle molecole, fino a diventare un problema formidabile nei solidi, dove il numero di particelle implicate è dell'ordine del numero di Avogadro,  .

Voci correlate

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Controllo di autoritàThesaurus BNCF 7991 · LCCN (ENsh85080793 · BNF (FRcb11979112r (data) · J9U (ENHE987007548453805171
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