Quasi-anello

In matematica un quasi-anello (near-ring in inglese) è una struttura algebrica più "debole" di un anello, cioè a dire, con assiomi meno restrittivi: più precisamente, non si richiede né che la somma sia commutativa né che la legge distributiva del prodotto rispetto alla somma valga da entrambi i lati.

Parleremo, quindi, di quasi-anelli sinistri se

e di quasi-anelli destri se

.

Definizione formaleModifica

L'insieme  , dotato di due operazioni binarie   e  , è un quasi-anello (sinistro) se valgono i seguenti assiomi:

  •   è un gruppo con elemento neutro  ;
  •   è un semigruppo;
  • La moltiplicazione a sinistra è distributiva rispetto alla somma:  .

Gli anelli sono dei particolari quasi-anelli sia sinistri che destri.

GiustificazioneModifica

Pur avendo una definizione apparentemente gratuita, i quasi-anelli hanno un modello notevole ottenuto considerando tutte le funzioni di un gruppo su se stesso.

Sia dato un gruppo   e sia   la famiglia di tutte le funzioni

 

di   su se stesso (inteso come insieme).

Definiamo la somma in  :

 

ove   è la somma definita in  , mentre   è la somma in  .

Definiamo il prodotto in  :

 

ove   è il prodotto definito in  , mentre   è la usuale composizione di funzioni.

Con tali somma e prodotto abbiamo dotato l'insieme   di una struttura di quasi-anello sinistro.

Un teorema fondamentale di rappresentazione mostra che tutti i quasi-anelli sono isomorfi a un sottoquasi-anello di   per un opportuno gruppo  .

Quasi-anelli con unitàModifica

Se   contiene l'elemento neutro   rispetto al prodotto, diremo che   è un quasi-anello con unità.

Quasi-anelli zerosimmetriciModifica

Sia   un quasi-anello sinistro. Per ogni   vale l'uguaglianza   (ove   è l'elemento neutro rispetto alla somma), infatti:

 

In genere, però, non è detto che sia  ; i quasi anelli per i quali ciò avviene, comunque si scelga  , sono detti zerosimmetrici.

Quasi-corpiModifica

Un quasi-corpo è un quasi-anello   i cui elementi distinti dallo zero formano un gruppo rispetto al prodotto.

Ideali in un quasi-anelloModifica

Analogamente a quanto si fa per gli anelli si possono definire gli ideali in un quasi-anello:

Si dice ideale (bilatero) di un quasi-anello sinistro   un suo sottoinsieme   tale che: 1)   è un sottogruppo normale di  ; 2)   appartiene a   per ogni   di   e per ogni   di  ; 3)   appartiene a   per ogni   di   e per ogni   di  .

Se solo le condizioni (1) e (2) sono soddisfatte diremo che   è un ideale sinistro; se invece sono soddisfatte le condizioni (1) e (3) diremo che   è un ideale destro.

Collegamenti esterniModifica

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