Regolatore lineare quadratico

Il regolatore lineare quadratico (LQR), nell'ambito del controllo ottimo, e più in generale dei controlli automatici e dei sistemi dinamici lineari tempoinvarianti, è un compensatore dinamico ottenuto a seguito della minimizzazione di un indice di costo funzione dello stato e del controllo .

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con e matrici simmetriche e semi definite positive e simmetrica e definita positiva.

Validità ipotesi iniziali modifica

Aver considerato matrici simmetriche non fa perdere di generalità il problema; infatti, qualunque forma quadratica è equivalente ad un'altra con matrice simmetrica. Si dimostra facilmente:

 

La matrice   è simmetrica mentre   risulta anti simmetrica e quindi genera una forma quadratica nulla.

La matrice R è definita positiva altrimenti esisterebbero per   infinite soluzioni, caso poco interessante in campo ingegneristico per cui si predilige che l'ingresso ottimo   sia unico.

Teorema: esistenza soluzione modifica

Per ogni matrice Q semidefinita positiva e per ogni matrice R definita positiva esiste sempre una soluzione   del problema di controllo ottimo LQR che minimizza l'indice di costo  .

Teorema: esistenza soluzione stabilizzante modifica

Se il sistema LTI è stabilizzabile e rilevabile, allora minimizzando l'indice di costo (rendendolo limitato) si stabilizza anche il sistema.

Il controllo ottenuto   è funzione lineare dello stato e di alcune matrici tra cui P(t) soluzione della DRE (equazione differenziale di Riccati) se il controllo è a tempo finito, o P (costante) soluzione della ARE (equazione algebrica di Riccati) se il controllo è a tempo infinito.

Tempo finito
  • controllo
 
  • controllore in retroazione dallo stato
 
  • DRE la cui soluzione fornisce P(t)
 
Tempo infinito
  • controllo
 
  • controllore in retroazione dallo stato
 
  • ARE la cui soluzione fornisce P
 

Essenzialmente fare un controllo su intervallo finito o infinito significa solo far tendere all'infinito ( →∞) l'estremo superiore dell'integrale che definisce  . L'effetto di un controllo su tempo infinito è un controllore stazionario (indipendente dal tempo), ovvero una matrice   costante e ottima rispetto all'indice che si voleva minimizzare.

Teorema: robustezza intrinseca modifica

 
Controllo automatico

Si può dimostrare che il controllo LQR è robusto di per sé per una gamma di variazioni parametriche ∂  relative al processo nominale   con upperbound costante in frequenza e pari a  . In altre parole permette il controllo per tutte le variazioni che modificano la matrice di trasferimento riferimento-uscita   prestazione di sensibilità del controllo fino ad un valore massimo tale che il massimo valore singolare di questa matrice sia minore di 2 (prestazione di sensibilità del controllo).

Bibliografia modifica

  • Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora, Bologna, 1993.
  • Marro G., Controlli automatici - 5ª edizione, Zanichelli, 2004
  • K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
  • P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

Voci correlate modifica

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