Filtro di Kalman

Il filtro di Kalman è un efficiente filtro ricorsivo che valuta lo stato di un sistema dinamico a partire da una serie di misure soggette a rumore. Per le sue caratteristiche intrinseche è un filtro ottimo per rumori e disturbi agenti su sistemi gaussiani a media nulla. Trova utilizzo come osservatore dello stato, come loop transfer recovery (LTR) e come sistema di identificazione parametrica. Il problema della progettazione del filtro di Kalman è il problema duale del regolatore lineare quadratico (LQR).

StoriaModifica

Il filtro prende il nome da Rudolf E. Kalman, sebbene in realtà Thorvald Nicolai Thiele[1] e Peter Swerling abbiano sviluppato un algoritmo simile in precedenza. Stanley Schmidt è generalmente riconosciuto essere stato il primo a sviluppare una realizzazione pratica di un filtro di Kalman. Durante una visita di Kalman al Centro di Ricerche Ames della NASA Schmidt vide l'applicabilità delle idee di Kalman al problema della stima delle traiettorie per il programma Apollo e finì con l'includerlo nel programma del computer di bordo dell'Apollo. Il filtro fu sviluppato in articoli scientifici da Swerling (1958), Kalman (1960) e Kalman e Bucy (1961).

In seguito, partendo dalla formulazione originaria di Kalman che ora è chiamata il filtro semplice di Kalman, sono stati sviluppati numerosi tipi di filtro di Kalman; alcuni esempi sono il filtro esteso di Schmidt, il filtro di informazione e diversi filtri a radice quadrata sviluppati da Bierman, Thornton e molti altri. Anche l'anello ad aggancio di fase (PLL), circuito elettronico usato in innumerevoli applicazioni quali la radio, i calcolatori elettronici e la trasmissione dati, può essere considerato un filtro di Kalman.

Filtro di Kalman a tempo continuoModifica

Definizione del problemaModifica

Si consideri l'applicazione del problema ad un generico sistema MIMO: dato un sistema dinamico lineare stazionario soggetto a rumore di processo   e rumore di misura  , si scrivono le equazioni caratteristiche come:

     con     

dove i rumori   e   sono incorrelati nel tempo, congiuntamente gaussiani a media nulla. Senza troppa perdita di generalità si può considerare   (caso di un sistema strettamente proprio). Dato il rumore, si scriva una matrice   detta matrice di covarianza come:

 

dove

 
 
 

Come ipotesi aggiuntive si prendano:   (definita positiva), ovvero la componente di rumore è a covarianza non nulla su ogni uscita,  , ovvero i rumori su stato e uscita sono incorrelati; lo stato è modellizzato come una variabile casuale gaussiana tale che:

 
 
 

e inoltre i rumori e lo stato sono incorrelati, ovvero:

 

Osservatore dello statoModifica

Si consideri a questo punto l'osservatore

 

Da qui, con semplici passaggi algebrici per sostituzione, è possibile scrivere la dinamica dell'errore nel seguente modo:

 
 

dove si definiscono

 
 

Scrivendo ora

 
 

si noti che il valore atteso dell'errore è un sistema autonomo[privo di senso: chiarire]. Si definisca in questo caso la matrice di covarianza dell'errore

 
 

L'obiettivo di ottimizzazione è quindi trovare   che minimizza la cifra di merito

 

con   vettore generico di dimensioni opportune.

Forma del filtro di KalmanModifica

Si dimostra che il guadagno   che risolve il problema di ottimizzazione ha la forma

 

dove   è la soluzione dell'equazione di Riccati scritta nella forma

 

con condizione iniziale

 

Si tratta esattamente del caso duale del problema di ottimizzazione per il controllo LQ.

Proprietà del filtro di KalmanModifica

Si studiano qui le proprietà del filtro di Kalman su orizzonte temporale infinito. Un risultato importante riguarda la stabilità del filtro: si definisca la matrice   come partizione della matrice  , ovvero tale che

 

Allora il filtro di Kalman risulta stabile se la coppia   è raggiungibile e se la coppia   è osservabile.

Sotto queste ipotesi lo stimatore ottimo è:

 

con

 

dove   è l'unica soluzione definita positiva dell'equazione stazionaria di Riccati

 

Stabilità asintoticaModifica

Sotto le ipotesi considerate il filtro di Kalman è asintoticamente stabile, in quanto si verifica che tutti i poli del filtro hanno parte reale negativa, ovvero gli autovalori della matrice   sono a parte reale negativa.

Filtro di Kalman a tempo discretoModifica

Definizione del problemaModifica

Si consideri l'applicazione del problema a un generico sistema MIMO: dato un sistema dinamico lineare stazionario soggetto a rumore di processo   e rumore di misura  , si scrivono le equazioni caratteristiche come:

     con     

dove i rumori   e   sono incorrelati, gaussiani a media nulla.

Ne risultano le formule (stima filtrata dello stato, varianza dell'errore di stima filtrata, predittore dello stato, varianza dell'errore di predizione):

 

Dove:

 

NoteModifica

BibliografiaModifica

  • Magni L., Scattolini R., Complementi di controlli automatici, Pitagora Editrice, Bologna, 2006.
  • Colaneri P., Locatelli A., Controllo robusto in RH2/RH, Pitagora Editrice, Bologna, 1993.
  • K. Zhou, J. C. Doyle, K. Glover, Robust and optimal control, Prentice Hall, 1996.
  • P. Dorato, C. Abdallah, V. Cerone Linear quadratic control: an introduction, Prentice Hall, 1995.

Voci correlateModifica

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