Punti di Malfatti

I punti di Malfatti, o Ajama-Malfatti^[1], sono due punti notevoli del triangolo legati ai punti di tangenza tra i tre cerchi di Malfatti.

Primo punto di Malfatti

Il primo punto di Malfatti, o anche X(179) per l'ETC, è il punto in cui si intersecano i segmenti che congiungono un vertice del triangolo al punto di tangenza opposto dei cerchi di Malfatti.

Coordinate trilineari^[2]

$\sec ^{4}{(A/4)}:\sec ^{4}{(B/4)}:\sec ^{4}{(C/4)}$

Coordinate baricentriche

$\sin A\sec ^{4}{(A/4)}:\sin B\sec ^{4}{(B/4)}:\sin C\sec ^{4}{(C/4)}$

Secondo punto di Malfatti

Il secondo punto di Malfatti, anche X(180) per l'ETC, è il punto in cui si intersecano le rette passanti per gli excerchi di un triangolo e uno dei punti di tangenza dei cerchi di Malfatti.

I cerchi di Malfatti con gli excerchi, bisettrici (verde) e il secondo punto di Malfatti

Coordinate trilineari^[2]

f(A,B,C) : f(B,C,A) : f(C,A,B)*

Coordinate baricentriche

g(A,B,C) : g(B,C,A) : g(C,A,B)*

$g(A,B,C)=(\sin A)f(A,B,C)$
$f(A,B,C)={\frac {1}{t(B,C,A)}}+{\frac {1}{t(C,B,A)}}-{\frac {1}{t(A,C,B)}}$
$t(A,B,C)=1+2(\sec A/4\cos B/4\cos C/4)^{2}$

Punto di Yff-Malfatti

Il punto di Yff-Malfatti, analogo al primo punto di Malfatti, è il punto d'intersezione delle rette passanti per i vertici del triangolo e il punto di tangenza dei cerchi di Malfatti più vicino, secondo la soluzione alternativa data problema di Malfatti da Peter Yff, generalizzando il problema.

Coordinate trilineari

\cos ^{4}{A/4}:\cos ^{4}{B/4}:\cos ^{4}{C/4}

Note

^ Il problema da cui sono nati i tre cerchi è stato in Europa formulato nel 1800 da Gian Francesco Malfatti, ma lo stesso problema era stato pensato poco prima anche dal matematico giapponese Chokuen Ajima, da cui il doppio nome con cui tal molta vengono indicati questi punti in ambito matematico.
^ ^a ^b Coordinate scoperte dal matematico Peter Yff

Voci correlate

Cerchi di Malfatti

Collegamenti esterni

(EN) Eric W. Weisstein, Punti di Malfatti, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) 1° e 2° punti di Malfatti sul Encyclopedia of Triangle Centers
(EN) Clark Kimberling, X₁₇₉, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.; (EN) Clark Kimberling, X₁₈₀, in Encyclopedia of Triangle Centers, University of Evansville, 22 ottobre 2013.

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[1] Il problema da cui sono nati i tre cerchi è stato in Europa formulato nel 1800 da Gian Francesco Malfatti, ma lo stesso problema era stato pensato poco prima anche dal matematico giapponese Chokuen Ajima, da cui il doppio nome con cui tal molta vengono indicati questi punti in ambito matematico.

[Yff-2] Coordinate scoperte dal matematico Peter Yff

[1]

[2]