In matematica, la sequenza di Farey è una sequenza, per ogni numero naturale positivo , definita come l'insieme ordinato secondo l'ordine crescente di tutti i numeri razionali irriducibili (cioè tali che numeratore e denominatore siano coprimi) espressi sotto forma di frazione con numeratore e denominatore compresi tra zero e . Ad esempio

Per i numeratori, sequenza A006842 dell'OEIS, sequenza A006843 per i denominatori.

Proprietà

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  • Ciascuna sequenza ha un numero dispari di termini, per ogni  , e il termine centrale è sempre  .
  • Ciascuna sequenza è "simmetrica" rispetto al termine centrale  : per ogni termine   della sequenza ne esiste anche uno pari a  
  • Dati due termini consecutivi di una sequenza   abbiamo che
 
  • Dati tre termini consecutivi di una sequenza   abbiamo che
 
Di conseguenza, data la successione  , il primo termine a comparire tra due generici   e  in una sequenza  , con  , è la frazione mediana
 
  • Definito come   il numero di termini della sequenza di Farey  , abbiamo che
 

Dove   è la funzione phi di Eulero.

Voci correlate

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