Sequenza di Sturm

Si definisce sequenza di Sturm su un intervallo , dove e/o possono essere infiniti, una sequenza di polinomi

tale che

  • non si annulla mai su
  • Per ogni zero di con si ha

TeoremaModifica

Per   definiamo la funzione   come il numero di volte che i termini della sequenza   cambiano segno, ignorando gli zeri. Se   è finita allora definiamo   come   dove   è tale che   per   e per ogni   e definiamo analogamente  . Se   allora definiamo   come il numero di volte che i termini della sequenza   cambiano segno, e analogamente definiamo  .

È possibile esprimere il teorema:

Sia   una sequenza di Sturm sull'intervallo   allora se né   e né   è uguale a zero,

 

dove si è usato l'indice di Cauchy.

DimostrazioneModifica

Consideriamo   spostarsi sull'asse dei reali, il valore di   non cambia quando   attraversa uno zero di   con   a causa della seconda proprietà delle sequenze di Sturm, quindi   cambia solo quando   attraversa uno zero di  . Se   è uno zero di   allora non è uno zero di   sempre a causa della seconda proprietà, per cui   ha lo stesso segno sia alla destra di   che alla sinistra.

Se   ha molteplicità pari allora   non cambia di segno quando   attraversa   e di conseguenza   non cambia, invece se   ha molteplicità dispari allora   aumenta di 1 se   e   hanno lo stesso segno alla sinistra di  , viceversa   diminuisce di 1 se   e   hanno segno opposto alla sinistra di  . In modo corrispondente per gli zeri con moltiplicità dispari l'indice di Cauchy riceve un contributo -1 se   e   hanno lo stesso segno alla sinistra di  , o un contributo +1 se   e   hanno segno opposto alla sinistra di  .

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