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Nella teoria dello scattering, la serie di Dyson, formulata dal fisico britannico Freeman Dyson, è una serie perturbativa in cui ogni termine è rappresentato da diagrammi di Feynman. Questa serie diverge asintoticamente, ma in elettrodinamica quantistica (QED) al secondo ordine la differenza dai dati sperimentali è dell'ordine di ed all'interno degli errori (sia teorici che sperimentali). Si noti che, per comodità, in questa voce si sono usate le unità di Planck per cui , dove è la costante di Dirac (o costante di Planck ridotta).

L'operatore di DysonModifica

Supponiamo di avere un'Hamiltoniana   che possiamo scrivere come una parte "libera"   ed una parte "interagente"  , ossia  . Ci porremo della rappresentazione di interazione.

Nella descrizione di interazione, l'operatore di evoluzione temporale del sistema U è definito da:

 

ed è chiamato operatore di Dyson

Abbiamo che:

 

e l'equazione di Tomonaga-Schwinger è data da:

 

Quindi:

 

Derivazione della serie di DysonModifica

Quanto sopra porta alla seguente serie di Neumann:

 

Con   così da avere che i campi sono ordinati temporalmente, ovvero introducendo l'operatore   di ordinamento temporale:

 

Possiamo tentare di semplificare questa integrazione. Infatti, dal seguente esempio:

 

Assumendo che   sia simmetrico e definendo (facendo attenzione ai limiti di integrazione:

 

La regione di integrazione può essere divisa in   sotto-regioni definite da: t1 > t2 > ..., > tn, t2 > t1 > ..., > tn, etc. Data la simmetria di  , l'integrale in ognuna di queste regioni è lo stesso ed equivale a   per definizione.

Quindi vale:

 

Giungiamo quindi all'identità:

 

Sommando tutti i termini otteniamo quindi la serie di Dyson:

 

BibliografiaModifica

  • Charles J. Joachain, Quantum collision theory, North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2.
  • J. J. Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, 1996.
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