Serie di Dyson

Nella teoria dello scattering, la serie di Dyson, formulata dal fisico britannico Freeman Dyson, è una serie perturbativa in cui ogni termine è rappresentato da diagrammi di Feynman. Questa serie diverge asintoticamente, ma in elettrodinamica quantistica (QED) al secondo ordine la differenza dai dati sperimentali è dell'ordine di $10^{-10}$ ed all'interno degli errori (sia teorici che sperimentali). Si noti che, per comodità, in questa voce si sono usate le unità di Planck per cui $\hbar =1$, dove $\hbar$ è la costante di Dirac (o costante di Planck ridotta).

L'operatore di Dyson

Supponiamo di avere un'Hamiltoniana $H$ che possiamo scrivere come una parte "libera" $H_{0}$ ed una parte "interagente" $V$, ossia $H=H_{0}+V$. Ci porremo nella rappresentazione di interazione.

Nella descrizione di interazione, l'operatore di evoluzione temporale del sistema U è definito da:

$\Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})\$

ed è chiamato operatore di Dyson

Abbiamo che:

$U(t,t)=I,\ U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),\ U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t)$

e l'equazione di Tomonaga-Schwinger è data da:

$i{d \over dt}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).$

Quindi:

$U(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})}.$

Derivazione della serie di Dyson

Quanto sopra porta alla seguente serie di Neumann:

${\begin{array}{lcl}U(t,t_{0})&=&1-i\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}V(t_{1})}+(-i)^{2}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})}}+\cdots \\&&{}+(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}+\cdots .\end{array}}$

Con $t_{1}>t_{2}>\dots >t_{n}$ così da avere che i campi sono ordinati temporalmente, ovvero introducendo l'operatore ${\mathcal {T}}$ di ordinamento temporale:

$U_{n}(t,t_{0})=(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}.$

Possiamo tentare di semplificare questa integrazione. Infatti, dal seguente esempio:

$S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}}}.$

Assumendo che $K$ sia simmetrico e definendo (facendo attenzione ai limiti di integrazione:

$I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}}}.$

La regione di integrazione può essere divisa in $n!$ sotto-regioni definite da: t₁ > t₂ > ..., > t_n, t₂ > t₁ > ..., > t_n, etc. Data la simmetria di $K$, l'integrale in ognuna di queste regioni è lo stesso ed equivale a $S_{n}$ per definizione.

Quindi vale:

$S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.$

Giungiamo quindi all'identità:

$U_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}.$

Sommando tutti i termini otteniamo quindi la serie di Dyson:

$U(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}.$

Bibliografia

• Charles J. Joachain, Quantum collision theory, North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2.
• J. J. Sakurai, Meccanica quantistica moderna, Zanichelli, 1996.