L'operatore di Dyson Modifica
Supponiamo di avere un'Hamiltoniana
H
{\displaystyle H}
che possiamo scrivere come una parte "libera"
H
0
{\displaystyle H_{0}}
ed una parte "interagente"
V
{\displaystyle V}
, ossia
H
=
H
0
+
V
{\displaystyle H=H_{0}+V}
. Ci porremo nella rappresentazione di interazione .
Nella descrizione di interazione, l'operatore di evoluzione temporale del sistema U è definito da:
Ψ
(
t
)
=
U
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
{\displaystyle \Psi (t)=U(t,t_{0})\Psi (t_{0})\ }
ed è chiamato operatore di Dyson
Abbiamo che:
U
(
t
,
t
)
=
I
,
U
(
t
,
t
0
)
=
U
(
t
,
t
1
)
U
(
t
1
,
t
0
)
,
U
−
1
(
t
,
t
0
)
=
U
(
t
0
,
t
)
{\displaystyle U(t,t)=I,\ U(t,t_{0})=U(t,t_{1})U(t_{1},t_{0}),\ U^{-1}(t,t_{0})=U(t_{0},t)}
e l'equazione di Tomonaga-Schwinger è data da:
i
d
d
t
U
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
=
V
(
t
)
U
(
t
,
t
0
)
Ψ
(
t
0
)
.
{\displaystyle i{d \over dt}U(t,t_{0})\Psi (t_{0})=V(t)U(t,t_{0})\Psi (t_{0}).}
Quindi:
U
(
t
,
t
0
)
=
1
−
i
∫
t
0
t
d
t
1
V
(
t
1
)
U
(
t
1
,
t
0
)
.
{\displaystyle U(t,t_{0})=1-i\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\ V(t_{1})U(t_{1},t_{0})}.}
Derivazione della serie di Dyson Modifica
Quanto sopra porta alla seguente serie di Neumann :
U
(
t
,
t
0
)
=
1
−
i
∫
t
0
t
d
t
1
V
(
t
1
)
+
(
−
i
)
2
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
+
⋯
+
(
−
i
)
n
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
−
1
d
t
n
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
+
⋯
.
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}U(t,t_{0})&=&1-i\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}V(t_{1})}+(-i)^{2}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}V(t_{1})V(t_{2})}}+\cdots \\&&{}+(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}+\cdots .\end{array}}}
Con
t
1
>
t
2
>
⋯
>
t
n
{\displaystyle t_{1}>t_{2}>\dots >t_{n}}
così da avere che i campi sono ordinati temporalmente , ovvero introducendo l'operatore
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
di ordinamento temporale:
U
n
(
t
,
t
0
)
=
(
−
i
)
n
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
−
1
d
t
n
T
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
.
{\displaystyle U_{n}(t,t_{0})=(-i)^{n}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}.}
Possiamo tentare di semplificare questa integrazione. Infatti, dal seguente esempio:
S
n
=
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
1
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
n
−
1
d
t
n
K
(
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
)
.
{\displaystyle S_{n}=\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t_{1}}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t_{n-1}}{dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}}}.}
Assumendo che
K
{\displaystyle K}
sia simmetrico e definendo (facendo attenzione ai limiti di integrazione:
I
n
=
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
d
t
n
K
(
t
1
,
t
2
,
…
,
t
n
)
.
{\displaystyle I_{n}=\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}K(t_{1},t_{2},\dots ,t_{n})}}}.}
La regione di integrazione può essere divisa in
n
!
{\displaystyle n!}
sotto-regioni definite da:
t 1 > t 2 > ..., > t n ,
t 2 > t 1 > ..., > t n , etc.
Data la simmetria di
K
{\displaystyle K}
, l'integrale in ognuna di queste regioni è lo stesso ed equivale a
S
n
{\displaystyle S_{n}}
per definizione.
Quindi vale:
S
n
=
1
n
!
I
n
.
{\displaystyle S_{n}={\frac {1}{n!}}I_{n}.}
Giungiamo quindi all'identità:
U
n
=
(
−
i
)
n
n
!
∫
t
0
t
d
t
1
∫
t
0
t
d
t
2
⋯
∫
t
0
t
d
t
n
T
V
(
t
1
)
V
(
t
2
)
⋯
V
(
t
n
)
.
{\displaystyle U_{n}={\frac {(-i)^{n}}{n!}}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{1}\int _{t_{0}}^{t}{dt_{2}\cdots \int _{t_{0}}^{t}{dt_{n}{\mathcal {T}}V(t_{1})V(t_{2})\cdots V(t_{n})}}}.}
Sommando tutti i termini otteniamo quindi la serie di Dyson :
U
(
t
,
t
0
)
=
∑
n
=
0
∞
U
n
(
t
,
t
0
)
=
T
e
−
i
∫
t
0
t
d
τ
V
(
τ
)
.
{\displaystyle U(t,t_{0})=\sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(t,t_{0})={\mathcal {T}}e^{-i\int _{t_{0}}^{t}{d\tau V(\tau )}}.}
Charles J. Joachain, Quantum collision theory , North-Holland Publishing, 1975, ISBN 0-444-86773-2 .
J. J. Sakurai, Meccanica quantistica moderna , Zanichelli, 1996.