Somma di Eulero

In matematica, la somma di Eulero è un metodo alternativo per la sommabilità delle serie. Data una serie Σa_n, essa si dirà sommabile secondo Eulero se converge la sua trasformata di Eulero.

La somma di Eulero può essere generalizzata tramite un insieme di metodi (E, q), dove q ≥ 0. La somma (E, 0) è l'ordinario limite delle somme parziali della successione, mentre (E, 1) è la somma di Eulero. Tutti questi metodi sono strettamente più deboli della somma di Borel; per q > 0 essi sono incomparabili alla somma di Abel.

Definizione

La (E, y) somma di Eulero di una successione è definita come

$_{E_{y}}\,\sum _{j=0}^{\infty }a_{j}:=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{(1+y)^{i+1}}}\sum _{j=0}^{i}{i \choose j}y^{j+1}a_{j}.$

Vale per la somma di Eulero la seguente formula:

$_{E_{y_{1}}}\sum \,_{E_{y_{2}}}\sum =\,_{E_{\frac {y_{1}y_{2}}{1+y_{1}+y_{2}}}}\sum$

Bibliografia

• Jacob Korevaar, Tauberian Theory: A Century of Developments. Springer, 2004. ISBN 3-540-21058-X
• Bruce Shawyer e Bruce Watson, Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oxford UP, 1994. ISBN 0-19-853585-6

Voci correlate

• Somma di Borel
• Eulero