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Uno [[spazio vettoriale topologico]] <math>X</math> è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:
* Èè [[spazio localmente convesso|localmente convesso]];
* Lala sua topologia può essere indotta da una metrica invariante sottorispetto traslazionea traslazioni, ovverocioè una distanza <math>d : X \times X \to \R</math> tale per cui <math>d(x,y) = d(x+a,y+a)</math> per tutti gli <math>a,x,y \in X,</math>. Questoquesto significa che <math>U \subset X</math> è aperto se e solo se per ogni <math>u \in U</math> esiste <math>\epsilonvarepsilon > 0 </math> tale che <math>\{v : d(u, v) < \epsilonvarepsilon \} \subset U;</math>.
* È uno [[spazio metrico completo]].
In modo equivalente, uno spazio vettoriale topologico <math>X</math> è uno spazio di Fréchet se soddisfa le seguenti proprietà:
* Èè uno [[spazio di Hausdorff]];
* Lala sua topologia può essere indotta da una famiglia numerabile di seminorme <math>\| \cdot \|_k </math>, con <math>k = 0,1,2 \dots</math>. Questointero non negativo, questo significa che <math>U \subset X </math> è aperto se e solo se per ogni <math>u \in U</math> esistono <math>K \ge 0 </math> e <math>\epsilonvarepsilon > 0 </math> tali per cui <math>\{v : \| u - v \|_k < \epsilonvarepsilon \ \forall k \le K\} \subset U</math>.;
* Èè completo rispetto alla famiglia di seminorme.
Una successione <math>( x_n ) \in X</math> converge a <math>x</math> nello spazio di Fréchet definito da una famiglia di seminorme se e solo se converge a <math>x</math> rispetto ada ognuna delle seminorme.
==Costruzione di spazi di Fréchet==
La seminorma <math>\| \cdot \|</math> è una funzione definita da uno spazio vettoriale <math>X</math>a che mappavalori in <math>\R</math> e che soddisfa le tre seguenti proprietà per tutti i vettori <math>x</math> e <math>y</math> in <math>X</math> e per ogni scalare <math>c</math>:
:<math>\|x\| \geq 0 \qquad ;</math>
:<math>\|x+y\| \le \|x\| + \|y\| \qquad ;</math>
:<math>\|c\cdot x\| = |c| \|x\|.</math>
per tutti i vettoriSe <math>\| x \| =0 </math> eimplica <math>yx=0</math>, inallora <math>X\| \cdot \|</math>, eè perdi ognifatto scalareuna <math>c</math>[[norma (matematica)|norma]].
Se <math>| x | =0 </math> allora <math>x=0</math>, e infatti <math>| \cdot |</math> è di fatto una [[norma (matematica)|norma]]. A differenza delle norme, però, leLe seminorme consentono di costruire spazi di Fréchet partendo da uno spazio vettoriale <math>X</math>, sul quale si definisce una famiglia numerabile di seminorme <math>\| \cdot \|_k</math> con le seguenti proprietà:
* Sese <math>x \in X</math> e <math>\| x \|_k = 0</math> per <math>k \ge 0</math>, allora <math>x=0;</math>.
* Sese <math>(x_n)</math> è una successione in <math>X</math> che è una [[successione di Cauchy]] rispetto ad ogni seminorma <math>\| \cdot \|_k</math>, allora esiste <math>x \in X</math> tale che <math>(x_n)</math> converge a <math>x </math> rispetto ad ogni seminorma <math>\| \cdot \|_k.</math>.
La topologia indotta dalla famiglia numerabile di seminorme rende <math>X</math> uno spazio di Fréchet: la prima proprietà assicura che sia uno [[spazio di Hausdorff]] mentre la seconda che sia [[spazio completo|completo]].
La medesima topologia può essere generata utilizzando una [[Distanza (matematica)|metrica]] completa invariante sotto traslazione definita da:
:<math>d(x,y)=\sum_{k=0}^\infty 2^{-k}\frac{\|x-y\|_k}{1+\|x-y\|_k} \qquad x, y \in X</math>
per ogni <math>x, y \in X.</math> Si nota che la funzione <math>u \to u / (1+u)</math> mappa <math>[0,\infty)</math> in <math>[0,1)</math> in modo [[Funzione monotona|monotono]], e dunque la precedente definizione assicura che la distanza <math>d(x,y)</math> è "piccola" se e solo se esiste <math>K</math> abbastanza "grande" da fare in modo che <math>\| x - y \|_k</math> sia "piccola" per <math>k=0, \dots , K</math>.
== Differenziazione in spazi di Fréchet ==
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