Differenze tra le versioni di "Serie di potenze"

(La formula di Cauchy-Hadamard era espressa in una forma corretta, ma inconsistente con quella della formula di D'Alembert. Ho apportato la modifica al fine di evitare che il lettore possa venire confuso: visto che entrambe le formule calcolano il reciproco di R, il testo risulta piu' leggibile se si mette in evidenza questo fatto.)
converge per alcuni valori della variabile <math> x </math> (almeno per <math> x </math> = <math> c </math>) e può divergere per altri. Esiste un numero ''R'' con 0 ≤ ''R'' ≤ ∞ tale che la serie converge quando |''x'' − ''c''| < ''R'' e diverge quando |''x'' − ''c''| > ''R''. Questo numero ''R'' è chiamato [[raggio di convergenza]] della serie di potenze e per ogni serie è dato dalla [[Teorema di Cauchy-Hadamard|formula di Cauchy-Hadamard]] per il raggio di convergenza:
 
:<math>R^{-1}=\limsup_{n\to\infty} {\sqrt[n]{|a_n|}},</math>
 
qui lim inf<math>\limsup</math> denota il [[limiteLimite superiore e limite inferiore|limite inferioresuperiore]]. Una formula meno generale ma più semplice è la seguente (formula di D'Alembert):
 
:<math>R^{-1}=\lim_{n\to\infty}\,\frac{{|a_{n+1}|}}{|{a_n}|}.</math>
 
Questa formula è però applicabile solo se il limite al secondo membro esiste.