Teorema integrale di Cauchy: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
m Correggo sintassi in formula matematica secondo mw:Extension:Math/Roadmap |
Migliorata la leggibilità della dimostrazione |
||
Riga 28:
Il teorema continua a valere per domini in cui la curva <math>\gamma</math> sia il contorno del dominio semplicemente connesso. Inoltre se il dominio non è semplicemente connesso (si veda generalizzazione sotto) ma è costituito da curve regolari a tratti il teorema continua a valere ma bisogna dare un'orientazione al verso di percorrenza, per convenzione il dominio deve rimanere sempre a sinistra mentre si percorrono le curve.
== Dimostrazione di Goursat ==
Line 33 ⟶ 35:
[[File:Goursat.jpg|thumb|upright=1.4|Percorso per la dimostrazione di Goursat del teorema di Cauchy]]
La dimostrazione si divide in due parti: nella prima si dimostra il teorema nell'ipotesi che la curva <math>C</math> sia una poligonale, nella seconda si usa il risultato della prima per dimostrare il teorema per una generica curva regolare a tratti. ▼
=== Parte 1: curva poligonale ===
Dapprima notiamo che una poligonale si può sempre decomporre in triangoli e dato che essendo i percorsi sempre in senso antiorario gli integrali sui lati in comune tra due triangoli (cioè quelli interni alla poligonale) si elidono, allora la tesi della prima parte è equivalente al fatto che <math>\oint_{\partial \Delta} f(z) \, dz =0</math> per ogni triangolo <math>\Delta \subset A</math>.
Consideriamo allora un generico triangolo <math>\Delta _0 \subset A</math> e sia <math>M=\left| \oint _{\partial \Delta _0} f(z)dz \right|</math>.
Costruiamo quattro sottotriangolo <math>\Delta _0 ^{(i)}, \ \ \ i\in\{1,2,3,4\}</math> unendo i punti medi di <math>\Delta _0</math>. Per costruzione le lunghezze dei perimetri valgono tutte <math display="inline">\frac{l_0}{2}</math> dove <math>l_0</math> è la lunghezza del perimetro del triangolo iniziale. Inoltre dato che (come detto prima) gli integrali sui lati in comune si elidono:
:<math>M= \left| \oint _{\partial \Delta _0} f(z)dz \right| =\left| \sum_{i=1} ^4 \oint _{\partial \Delta _0 ^{(i)} } f(z) dz \right|\leq \sum_{i=1} ^4 \left|\oint _{\partial \Delta _0 ^{(i)} } f(z) dz\right|</math>▼
Quindi
:<math>\exist i \in{1,2,3,4} \ \ \ t.c. \left| \oint _{\partial \Delta _{0} ^{(i)}} f(z)dz \right| \geq \frac{M}{4}</math>,
e poniamo allora <math>\Delta _1=\Delta _0 ^{(i)}</math>. Procediamo analogamente su <math>\Delta _1</math> costruendo un triangolo <math>\Delta _2</math> tale che <math display="inline">l_2 =\frac{l_0}{2^2}</math> e
:<math>\left| \oint _{\partial \Delta _2}f(z)dz \right|\geq \frac{M}{4^2}</math>
Cioè esiste un punto <math>z_0 \in \bar{\Delta}_n \ \ \ \ \forall n=0,1,2,...</math> . Ora la derivabilità in <math>z_0</math> implica che esiste una funzione
:<math>\eta (z) \ \ \ t.c. \forall \epsilon \in \mathbb{R} \ \ \ \ \exist \delta\ \ t.c. |z-z_0|<\delta \rightarrow |\eta(z)|<\epsilon \ \ \ e\ \ \ \ \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} -f'(z_0)=\eta(z)</math>,
e cioè <math>f(z)=\eta (z)(z-z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+f(z_0)</math>.
▲In realtà questa ipotesi non è necessaria: la seguente dimostrazione, data da [[Edouard Goursat]], non fa uso della continuità delle derivate prime. Per questo motivo il teorema di Cauchy viene detto anche teorema di Cauchy-Goursat.
▲La dimostrazione si divide in due parti: nella prima si dimostra il teorema nell'ipotesi che la curva <math>C</math> sia una poligonale, nella seconda si usa il risultato della prima per dimostrare il teorema per una generica curva regolare a tratti.
:<math> \begin{align}\oint _{\partial \Delta _n} f(z)dz&= \oint _{\partial \Delta _n} f'(z_0)(z-z_0)+\eta (z) (z-z_0)+f(z_0) dz\\ &= \oint _{\partial \Delta _n} \eta (z) (z-z_0)dz\end{align}</math>▼
▲Dapprima notiamo che una poligonale si può sempre decomporre in triangoli e dato che essendo i percorsi sempre in senso antiorario gli integrali sui lati in comune tra due triangoli (cioè quelli interni alla poligonale) si elidono, allora la tesi della prima parte è equivalente al fatto che <math>\oint_{\partial \Delta} f(z) \ dz =0</math> per ogni triangolo <math>\Delta \subset A</math>. Consideriamo allora un generico triangolo <math>\Delta _0 \subset A</math> e sia <math>M=\left| \oint _{\partial \Delta _0} f(z)dz \right|</math>. Costruiamo quattro sottotriangolo <math>\Delta _0 ^{(i)}, \ \ \ i\in\{1,2,3,4\}</math> unendo i punti medi di <math>\Delta _0</math>. Per costruzione le lunghezze dei perimetri valgono tutte <math>\frac{l_0}{2}</math> dove <math>l_0</math> è la lunghezza del perimetro del triangolo iniziale. Inoltre dato che (come detto prima) gli integrali sui lati in comune si elidono:
Da cui segue che
▲<math>M= \left| \oint _{\partial \Delta _0} f(z)dz \right| =\left| \sum_{i=1} ^4 \oint _{\partial \Delta _0 ^{(i)} } f(z) dz \right|\leq \sum_{i=1} ^4 \left|\oint _{\partial \Delta _0 ^{(i)} } f(z) dz\right|</math>
:<math> \frac{M}{4^n} \leq \left|\oint _{\partial \Delta _n} f(z)dz \right|= \left| \oint _{\partial \Delta _n} \eta(z)(z-z_0) dz \right| \leq \epsilon \max_{z\in \partial \Delta _n} |z-z_0| l_n \leq \epsilon l_n ^2=\epsilon \frac{l_0^2}{4^n}</math>
▲Quindi esisterà <math>\exist i \in{1,2,3,4} \ \ \ t.c. \left| \oint _{\partial \Delta _{0} ^{(i)}} f(z)dz \right| \geq \frac{M}{4}</math>, e poniamo allora <math>\Delta _1=\Delta _0 ^{(i)}</math>. Procediamo analogamente su <math>\Delta _1</math> costruendo un triangolo <math>\Delta _2</math> tale che <math>l_2 =\frac{l_0}{2^2}</math> e <math>\left| \oint _{\partial \Delta _2}f(z)dz \right|\geq \frac{M}{4^2}</math>; iterando costruiamo una successione di triangolo <math>\Delta_0 \supset \Delta_1 \supset ... \supset\Delta_n \supset \Delta_{n+1}\supset ...</math> tali che <math>l_n =\frac{l_0}{2^n} </math> e inoltre <math>\left| \oint _{\partial \Delta _n} f(z) dz \right|\geq \frac{M}{4^n}</math>. Essendo le chiusure dei triangoli insiemi compatti la loro intersezione non è vuota <ref>{{Cita libro|autore=walter rudin|titolo=principles of mathematical analysis|anno=1976}}</ref>.
ma allora <math> M\leq \epsilon l_0^2</math> e dall'arbitrarietà di <math> \epsilon </math> segue <math> M=0</math>, cioè <math display="inline"> \oint _{\partial \Delta _0} f(z)dz=0</math> che è la tesi della prima parte.
▲Cioè eiste un punto <math>z_0 \in \bar{\Delta}_n \ \ \ \ \forall n=0,1,2,...</math> . Ora la derivabilità in <math>z_0</math> implica che esiste una funzione <math>\eta (z) \ \ \ t.c. \forall \epsilon \in \mathbb{R} \ \ \ \ \exist \delta\ \ t.c. |z-z_0|<\delta \rightarrow |\eta(z)|<\epsilon \ \ \ e\ \ \ \ \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0} -f'(z_0)=\eta(z)</math>, e cioè <math>f(z)=\eta (z)(z-z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+f(z_0)</math>. Ora è chiara che è possibile scegliere <math>n</math> abbastanza grande così che <math>\Delta_n \subset B(z_0, \delta ) </math>. Infatti è sufficiente scegliere <math>n</math> tale che <math>l_n < \delta</math>. Allora dato che è facile mostrare che l'integrale di ogni costante o di ogni funzione lineare su una linea chiusa è zero vale
=== Parte 2: curva generica ===
▲<math> \oint _{\partial \Delta _n} f(z)dz= \oint _{\partial \Delta _n} f'(z_0)(z-z_0)+\eta (z) (z-z_0)+f(z_0) dz = \oint _{\partial \Delta _n} \eta (z) (z-z_0)dz</math>
Ora si consideri una generica curva <math> C</math>. Dato <math> \rho >0</math> si consideri l'insieme <math> E=\{z\in A : d(z,C)=\inf_{\zeta \in C}d(\zeta, z)\leq \rho \} </math>, che essendo compatto fornisce la possibilità di restringere <math> f</math> a <math> E</math> essendo su di esso uniformemente continua. Cioè <math> \forall \epsilon >0 \exist \delta >0 : |z_1-z_2|<\delta \rightarrow |f(z_1)-f(z_2)|<\epsilon</math>se <math> z_1,z_2 \in E</math>.
:<math> z \in P \rightarrow \exist k\in\{1,\ldots,n\} : z \in P_k\rightarrow d(z,C)=\inf_{\zeta \in C} d(z,\zeta)\leq d(z,z_k)\leq d(z_k,z_{k-1})\leq \rho \rightarrow z \in E</math>
per l'uniforme continuità . Denotiamo ora con <math> C_k \subset C</math> l'arco di <math> C</math> sotteso da <math> P_k</math>. Ora notando che essendo <math> f(z_k)</math> una costante vale <math> \oint _{C_k} f(z_k)dz=\oint _{P_k} f(z_k) dz</math> e dal fatto che l'integrale sulla poligonale è nullo per il punto precedente vale la seguente catena di disuguaglianze:▼
ma allora se <math> \zeta _1, \zeta _2 \in P_k </math> vale <math> |f(\zeta _1)-f(\zeta _2)| < \epsilon</math> per l'uniforme continuità .
▲
:<math> \begin{align}\left| \oint_{C} f(z) dz \right|&=\left| \oint_{C} f(z) dz -\oint _P f(z) dz\right|\\&=\left| \sum_{k=1} ^n\left( \oint _{C_k} f(z)dz -\oint _{P_k} f(z)dz \right) \right|\\&\leq \sum_{k=1} ^n\left| \oint _{C_k} f(z)dz -\oint _{P_k} f(z)dz \right|\\&=\sum_{k=1} ^n\left| \oint _{C_k} f(z)-f(z_k)dz -\oint _{P_k} f(z)-f(z_k)dz \right|\\&\leq \sum_{k=1} ^n \left(\left| \oint _{C_k} f(z)-f(z_k)dz\right|+ \left|\oint _{P_k} f(z)-f(z_k)dz \right|\right )\\&\leq\sum_{k=1} ^n \left(\epsilon \oint _{C_k} |dz| +\epsilon \oint _{P_k} |dz| \right)\\&\leq 2\epsilon \oint _P |dz|\end{align}</math>
La tesi segue dunque dall'arbitrarietà di <math> \epsilon</math>.
| |||