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Di conseguenza si ottiene:
:<math>\begin{align}
: <math>\ \left( 1 + {x \over n} \right)^n &= \sum_{k=0}^{n} {n \choose k}{{x^k} \over {n^k}}\\ &= \sum_{k=0}^{n} { \prod_{h=0}^{k-1} {n-h} \over {n^k}} {{x^k} \over {k!}} </math>\\
:<math> &= \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ {{n-0} \over {n}} {{n-1} \over {n}} {{n-2} \over {n}} ...\cdots {{n-(k-1)} \over {n}} \right]\\&= \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) \cdots \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]\end{align} </math>
:<math> = \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]. </math>
Considerando il limite per <math>\ n \to \infty</math> si ha:
: <math>\ \lim_{n \to \infty} \sum_{k=0}^{n} {{x^k} \over {k!}} \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ... \cdots\left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]. </math>
Per ogni addendo della sommatoria il fattore:
:<math>\ \left[ 1 \left(1-{ {1} \over {n}} \right) \left(1-{ {2} \over {n}} \right) \left(1-{ {3} \over {n}} \right) ...\cdots \left(1-{ {k-1} \over {n}} \right) \right]</math>
tende ad 1. Inoltre il passaggio al limite trasforma la serie in una serie infinita:
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