|
=== Forma debole ===
Considerando un sistema finito si dice [[Forza conservativa|conservativa]] una forza agente su di esso se per il [[Lavoro (fisica)|lavoro]] che compie in un intorno infinitesimo di qualsiasi punto vale il [[teorema di Torricelli]], ovvero esso dipende solo dai suoi estremi di frontiera r e r+dr e non dalla traiettoria infinitesima congiungente effettivamente seguita tra tutte le possibili:pun
Per unIl [[ sistemateorema scleronomodel rotore]] inoltredimostra che se il campo di forze è continuo l'annullarsi della sua circuitazioneimplical'annullarsidelsuorotore,quindièposibilera[[sistema scleronomo|r]][[teorema delle forze vive|ma delle forze vive]] afferma che il lavoro di tutte le forze, conservative o meno, è pari alla variazione dell'del[[energia cinetica |energiacinetica]]: ▼:<math> \mathop{}\! \mathrm dL(r) = \int_{r}^{r+\mathop{}\! \mathrm d r} \bar F \cdot \mathop{}\! \mathrm d\bar r = -U(r+\mathop{}\! \mathrm dr)+U(r) = -\mathop{}\! \mathrm dU(r) </math>
In questo caso abbiamo che lungo un qualsiasi percorso che abbia inizio e fine in r il lavoro di una forza conservativa è nullo:
:<math> \int_r^r \bar F \cdot \mathop{}\! \mathrm d\bar r = -U(r)+U(r) = 0 </math>
Il [[teorema del rotore]] dimostra che se il campo di forze è continuo l'annullarsi della sua circuitazione implica l'annullarsi del suo rotore, quindi è possibile rappresentare la [[forza]] come il [[gradiente]] di uno scalare chiamato [[energia potenziale]]:
: <math> \bar F = - \nabla U(\bar x) </math>
▲Per un [[sistema scleronomo]] inoltre il [[teorema delle forze vive]] afferma che il lavoro di tutte le forze, conservative o meno, è pari alla variazione dell'[[energia cinetica]]:
:<math> \mathrm d L = \mathrm d K </math>
Da cui
:<math> -\mathrm d U = \mathrm d K </math>
E quindi:
:<math> \frac {\mathrm d E}{\mathrm dt} = 0 </math>
dove abbiamo definito energia meccanica la somma <math>E = U+K</math>
Questo ragionamento dimostra che in un sistema isolato conservativo e scleronomo, l'energia meccanica è una [[costante del moto]].
L'energia cinetica per un sistema continuo è esprimibile in base alla [[regola di Leibniz]] come:
: <math>K = \int_Q \bar v \cdot \operatorname d (m \bar v) = \int_{W^2} \frac 1 2 m \operatorname d v^2 + \int_M v^2 \operatorname d m = \frac 1 2 \int_{W^2} \int_V \rho \operatorname d r^3 \operatorname d v^2 + \int_V \rho v^2 \operatorname d r^3</math>.
In realtà la dissipazione di energia meccanica in un sistema può essere bilanciata dall'ingresso di forme ordinate di energia: dal [[bilancio della quantità di moto]] per un sistema continuo, deriva in via generale che perché l'energia meccanica si conservi dev'essere nulla la somma integrale:
: <math>\frac{\partial}{\partial t} \int_{M} u \operatorname dm - \int_{M} \frac{\partial \ln \rho}{\partial t} u \operatorname dm + \oint_{F_{\partial V}} \left( - \langle \bar v \rangle + \frac{\operatorname dr^3}{\operatorname d \bar {r^2}} \cdot \nabla \langle \bar v \rangle \right) \cdot \operatorname d \bar F_{\partial V} = 0</math>
ovvero in forma contratta perché l'energia meccanica si conservi la dissipazione cinetica può essere bilanciata da un calo di energia potenziale nel volume occupato dal sistema, da una conduzione cinetica netta dall'esterno o da un aumento di entropia potenziale:
: <math> D = - \frac{\partial U}{\partial t} + P + \Sigma</math>
=== Forma forte ===
Se il campo di accelerazione esterno è conservativo, come nel caso debole è associabile al gradiente di una densità (di energia) potenziale, e in ogni punto interno al sistema di continuità delle grandezze intensive la densità di dissipazione dev'essere bilanciata dalla somma della densità di corrente cinetica in conduzione e del calo locale di densità di energia potenziale nella posizione occupata dal frammento di sistema:
: <math> \frac{\bar \bar \sigma : \nabla \langle \bar v \rangle}{\rho} = \frac{\nabla \cdot (\bar \bar \sigma \cdot \langle \bar v \rangle)}{\rho} - \frac{\partial u}{\partial t}</math>
== Meccanica Hamiltoniana ==
In [[meccanica analitica]] la [[Meccanica hamiltoniana|Hamiltoniana]] è la funzione associata all'energia totale del sistema. Essa è anche il generatore della trasformazione di [[Operatore di evoluzione temporale|evoluzione temporale]], perciò l'evoluzione di una generica variabile dinamica <math>f</math> sarà determinata dalla [[Parentesi di Poisson]] come segue:
: <math> \frac{\mathrm df}{\mathrm dt} = \{f,H\} +\frac{\partial f}{\partial t}</math>
Naturalmente l'Hamiltoniana di qualunque sistema ha parentesi di Poisson nulla con se stessa per definizione di parentesi di Poisson. Da cui
: <math> \frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=\frac{\partial H}{\partial t} </math>
Perciò la hamiltoniana dipende dal tempo solo se questa dipendenza è esplicita. In altre parole, la hamiltoniana è una costante del moto (integrale primo) ogniqualvolta il sistema è descritto da [[vincolo|vincoli]] scleronomi.
=== Meccanica quantistica ===
Il medesimo ragionamento può essere riprodotto per la [[meccanica quantistica]] parlando di [[operatore hamiltoniano]] e compiendo la sostituzione della parentesi di Poisson con il [[commutatore (matematica)|commutatore]]:
: <math>\{\cdot,\cdot\}\longrightarrow \frac{1}{i\hbar}[\cdot,\cdot]</math>
La conservazione dell'energia esclude la possibilità di un [[moto perpetuo]] di prima specie.
In [[Relatività ristretta]] si mostra che anche la massa è una forma di energia (la famosa [[Relatività ristretta#Dinamica relativistica|formula]] <math>E = mc^2</math>) ed in caso di conversioni massa/energia va tenuta in conto nel bilancio energetico.
In [[Relatività generale]] non è possibile definire l'energia in maniera gauge-invariante per cui la conservazione dell'energia risulta un problema sottile difficile da risolvere in termini del tutto generali<ref>{{en}} [http://www.math.ucr.edu/home/baez/physics/Relativity/GR/energy_gr.html]</ref>.
== Note ==
| 