Notazione di Einstein: differenze tra le versioni

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In [[algebra lineare]] la '''notazione di Einstein''' o la '''convenzione di Einstein nelle sommatorie''' è una convenzione per contrarre i [[Tensore|tensori]]: ogni indice che compare all'interno di un fattore più di una volta viene sommato al variare di tutti i possibili valori che l'indice può assumere.
 
Nelle applicazioni più comuni l'indice può valere 1,2,3 (per calcoli nello [[spazio euclideo]]), o 0,1,2,3 o 1,2,3,4 (per calcoli nello [[spaziospaziotempo di Minkowski]]), ma esso può variare in qualsiasi intervallo, compresi insiemi infiniti. La [[notazione astratta degli indici]] è uno sviluppo della notazione di Einstein.
 
La convenzione è stata introdotta dallo stesso [[Albert Einstein]] per rendere più concise alcune equazioni di [[geometria differenziale]] utili a formulare la [[relatività generale]]. La convenzione non ha tuttavia alcun significato fisico; si tratta di un metodo di scrittura utile nel formalismo matematico.
Nell'articolo del 1916 "''La fondazione della teoria della relatività generale''" (''Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie'')<ref name=articolo-rel-tedesco>[http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf Die Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20120204075246/http://www.alberteinstein.info/gallery/pdf/CP6Doc30_pp284-339.pdf |data=4 febbraio 2012 }}, Articolo originale della teoria della relatività generale (tedesco), pdf</ref>, dopo alcuni paragrafi di introduzione, Einstein dedica il punto B della sezione 4 ai "''Mezzi matematici per la formulazione di equazioni covarianti in modo generale''". A valle della definizione di [[quadrivettore]] covariante e controvariante, dedica una nota alla "''Osservazione sulla scrittura semplificata delle espressioni''". Dunque, fu lui stesso a usare la dizione di "''notazione semplificata''", da applicare ai [[tensore|tensori]] precedentemente introdotti. A proposito scrive:
 
{{Citazione|''Un'occhiata alle equazioni del presente paragrafo mostra che le sommatorie si effettuano sempre rispetto agli indici che si presentano due volte sotto il segno di somma e ''unicamente'' rispetto a indici siffatti. Perciò, è possibile, senza ledere la chiarezza, sopprimere il segno <math>\sum</math>. A tale scopo diamo la seguente regola: " quando un indice si presenta due volte in un termine d'una espressione, occorre sommare rispetto ad esso, salvo il caso che sia esplicitamente indicato il contrario".[...]. Seguendo l'uso introdotto da [[Tullio Levi- Civita|Levi-Civita]], indichiamo il carattere covariante collocando l'indice in basso e quello controvariante collocando l'indice in alto''.}}
 
La convenzione è quindi la seguente:
 
== Notazione astratta degli indici ==
La notazione di Einstein presenta l'inconveniente di non specificare se le relazioni tra le grandezze che compaiono nelle equazioni (in particolar modo i [[tensore|tensori]]) valgano ''componente per componente'' o se siano ''equazioni tensoriali'', indipendenti dalla scelta di una [[base (algebra lineare)|base]]. Per questo motivo [[Roger Penrose]] e altri<ref name="Wald">in {{en}} {{cita libro | cognome=Wald| nomeautore=Robert M. Wald| anno=1984 | titolo=General Relativity | edizione=1<sup>a</sup> edizione | anno=1984|editore=University of Chicago Press | isbnlingua=0-226-87033-2en|citazione=In }}questo libro sisono riportanoriportati due lavori Penrose (1968) e Penrose e Rindler (1984) a proposito dell'introduzione della notazione astratta degli indici.|isbn=0-226-87033-2}}</ref> hanno proposto l'introduzione di una differenziazione della notazione da usarsi nella notazione di Einsten:
<ul>
<li> Equazioni che contengano indici indicati da ''lettere latine'', del tipo
:<math>x^{\mu}x_{\mu} = \sum_{\mu=0}^{3} = -(x^0)^2 + ||\hat{x}||^2</math>
dove abbiamo usato la metrica
:<math>g_{\mu \nu} = \operatorname{diag}(-1, +1, +1, +1) \ </math>
 
e <math>x^0 = ct</math>, invece
:<math>x^{i}x_{i} = \sum_{i=1}^{3} = ||\hat{x}||^2.</math>