Pentagono: differenze tra le versioni
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La somma degli angoli interni è di 540°.
==Pentagono regolare==
[[File:Regular Pentagon Geometry 1.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 1: Determinazione degli angoli del pentagono regolare]]
Per definizione, un pentagono regolare: è
* un [[poligono convesso]] costituito da cinque [[Angolo|angoli]] e da cinque [[Lato (geometria)|lati]];
* i cinque lati sono [[Congruenza (geometria)|congruenti]];
* i cinque angoli sono anch'essi congruenti (in Fig. 1 uno degli angoli interni è identificato con la lettera γ).
Da queste definizioni si può dedurre che tutte le [[Diagonale|diagonali]] del pentagono sono congruenti, in quanto lati omologhi dei [[Triangolo|triangoli]] ABC, BCD, CDE, DEA e EAB, che sono a loro volta [[Criteri di congruenza dei triangoli|congruenti]]: hanno infatti due lati che coincidono con i lati del pentagono, i quali definiscono gli angoli interni del pentagono stesso (lati e angoli interni del pentagono regolare che, come detto, sono congruenti per definizione).
===Circonferenze circoscritta ed inscritta===
La definizione di pentagono regolare non implica automaticamente che tale poligono sia circoscrivibile o inscrivibile in una [[circonferenza]], ma tale fatto può essere facilmente dimostrato. [[Bisettrice|Bisecando]] ogni angolo interno del pentagono si ottiene la serie di triangoli AOB, BOC, COD... che sono tutti isosceli, in quanto gli angoli che giacciono sulle loro basi AB, BC, CD... sono ciascuno metà degli angoli interni del pentagono. I segmenti AO e BO sono quindi congruenti; ma lo sono anche BO e CO, CO e DO... di conseguenza:
* i vertici del pentagono sono equidistanti dal punto O, che è quindi il centro della circonferenza circoscritta al pentagono stesso;
* i triangoli che hanno come base i lati del pentagono e come vertice il punto O sono congruenti;
* gli angoli al centro del pentagono, ovvero gli angoli che dal centro della circonferenza circoscritta sottendono ciascun lato del pentagono stesso, sono congruenti;
* le altezze tracciate a partire dal punto O sui lati del pentagono (es. segmento OF in Fig. 1) sono congruenti;
* nel pentagono regolare può essere inscritta una circonferenza (arco tratteggiato in Fig. 1), tangente ai lati del pentagono nei punti di base delle altezze tracciate da O, e il cui raggio coincide con la lunghezza di tali altezze. Il raggio della circonferenza inscritta è detto [[Apotema (geometria)|apotema]].
===Angoli===
Stabilito il fatto che un pentagono regolare può essere inscritto in una circonferenza, si può quantificare l'ampiezza degli [[Cerchio#Angoli particolari nel cerchio|angoli al centro]], ovvero degli angoli che dal centro O della circonferenza sottendono ciascuno dei lati del pentagono:
::<math>\alpha = \frac{2\pi}{5} = 72^\circ</math>
Il punto E giace sulla circonferenza circoscritta al pentagono, quindi gli angoli AEB, BEC e CED, che sottendono rispettivamente gli archi (e le relative corde / lati) AB, BC e CD, hanno ampiezza ciascuno metà dell'angolo al centro:
::<math>\beta = \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{5} = 36^\circ</math>
Di conseguenza l'angolo interno del pentagono vale:
::<math>\gamma = 3 \cdot \beta = \frac{3}{5} \pi = 108^\circ</math>
Esaminiamo ora la relazione fra lati e diagonali. Ogni diagonale del pentagono è parallela al lato opposto (ovvero a quello fra i lati del pentagono che non tocca una delle estremità della diagonale presa in esame). Verificando un caso particolare, si può vedere che gli angoli BEC e ECD sono alterni interni delle rette BE e CD tagliate dalla trasversale CE; essendo tali angoli congruenti (entrambi di ampiezza pari a β), il lato CD e la diagonale BE risultano appunto essere paralleli. Lo stesso vale per ogni altra coppia lato / diagonale del pentagono.
Ulteriore caratteristica dell'angolo β è di comparire un totale di 5 volte in ciascuno dei triangoli costituiti da due diagonali e un lato del pentagono (es. il triangolo BDE). Tali triangoli sono ovviamente isosceli, in quanto è già stato dimostrato che le diagonali del pentagono sono congruenti; in più, l'angolo in B, compreso fra le due diagonali, è metà di ciascuno degli altri due angoli: questo tipo di triangolo, in cui due angoli sono ciascuno il doppio del terzo, viene chiamato [[Triangolo aureo|Triangolo Aureo]], ed è fondamentale per procedere alla costruzione del pentagono regolare secondo il metodo descritto da Euclide.
===Lunghezze del lato e della diagonale===
[[File:Regular Pentagon Geometry 2.svg|thumb|upright=1.8|Fig. 2: Determinazione delle lunghezze di lato, diagonale ed apotema del pentagono regolare]]
Osservazione preliminare: il triangolo ABG è isoscele in quanto gli angoli in A e in B sono congruenti: ne consegue che sono congruenti tutti i segmenti come BG e CJ (che serviranno fra poco) che partono dai vertici del pentagono ABCDE per congiungersi ai vertici del pentagono interno GHJKL, costruito dalle diagonali.
Si osservi ora che i triangoli BAE e CJD sono simili, in quanto i lati omologhi sono tutti paralleli fra loro. Vale dunque la proporzione:
:<math>CJ:CD=AB:BE</math>
Osserviamo ora la diagonale BE, tagliata in G dalla diagonale AC. Il segmento GE ha ovviamente la stessa lunghezza sia di CD (CDEG è un parallelogramma) che di BA, mentre abbiamo già dimostrato che BG e CJ sono congruenti. Quindi possiamo riscrivere la precedente proporzione con i segmenti seguenti:
:<math>BG:GE=GE:(BG+GE)</math>
La proporzione qui sopra ha la forma classica <math>a : b = b : (a+b)</math>, quella che definisce la [[sezione aurea]]. Ne consegue che la lunghezza s del lato del pentagono rispetto alla sua diagonale d è:
:<math>s=d\frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
Viceversa:
:<math>d=s\frac{\sqrt{5}+1}{2}</math>
Nel triangolo BDE si tracci l'altezza dal vertice B al piede S, e si prolunghi il segmento fino ad incontrare la circonferenza circoscritta al pentagono in T. Per costruzione, l'angolo BSE è retto, quindi si può applicare il [[teorema di Pitagora]] per calcolare la lunghezza del segmento BS:
:<math>h = \sqrt{ d^2 - \left(d \frac{\sqrt{5}-1}{4} \right)^2 } = d \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}}</math>
Infine si può calcolare la lunghezza del segmento BT, che è un diametro della circonferenza circoscritta, e quindi vale due volte il raggio r della medesima: considerando il fatto che i triangoli BSE e BTE sono simili (sono entrambi rettangoli, e hanno il vertice B in comune), si imposta la proporzione:
::<math>h:d=d:2\cdot r</math>
da cui
::<math>r = \frac{d^2}{2 \cdot h} = \frac {d^2} {2 \cdot d \sqrt{ \frac {5+\sqrt{5}} {8}}} = d \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{10}}</math>
Invertendo quest'ultima espressione possiamo ricavare la lunghezza della diagonale rispetto al raggio:
::<math>d = r \sqrt{ \frac{ 5+\sqrt{5}}{2}} \simeq 1{,}902113032 r</math>
Il rapporto già calcolato fra lunghezze del diametro e del lato ci consente di ricavare la lunghezza del lato rispetto al raggio:
::<math>s = d \frac {\sqrt{5}-1}{2} = r \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-1}{2} = r \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} \simeq 1{,}175570504 r</math>
Infine, per completezza, si può calcolare la lunghezza del segmento ET, che è il lato del decagono inscritto nella stessa circonferenza del pentagono (questo dato sarà utile per descrivere la costruzione del pentagono regolare secondo Tolomeo). Come già detto, il triangolo BTE è rettangolo, quindi si può di nuovo applicare il teorema di Pitagora:
::<math>s_{10} = \sqrt{(2r)^2 - d^2 } = \sqrt{4r^2 - r^2 \frac{5+\sqrt{5}}{2}} = r \frac{\sqrt{5}-1}{2}</math>
====Incommensurabilità di lato e diagonale====
[[File:Regular Pentagon Incommensurability.svg|thumb|upright=1.4|Fig. 3: Dimostrazione dell'incommensurabilità fra lato e diagonale del pentagono regolare]]
Come già mostrato, il lato e la diagonale del pentagono regolare stanno fra loro come il rapporto aureo. Quella che segue è la dimostrazione che tale rapporto è [[Incommensurabilità|incommensurabile]], ovvero che il rapporto fra dette lunghezze non può essere espresso da un numero razionale.
La dimostrazione che segue prende le mosse dalla Proposizione 2 del libro X degli Elementi di Euclide: ''Se di due grandezze disuguali veniamo a sottrarre [...] la minore dalla maggiore quante volte sia possibile, e quella restante non misura mai la grandezza ad essa precedente, le grandezze sono incummensurabili''.
Prendiamo quindi in esame (vedi Fig. 3) il pentagono ABCDE, la sua diagonale BE e il lato BA, minore di BE. Occorre ricavare la differenza fra queste due lunghezze: si traccia quindi l'arco AH, centrato in B e di raggio BA, fino a intersecare BE nel punto H; e dato che BH e BA sono congruenti, il segmento HE è la differenza cercata.
H divide il segmento BE in "media ed estrema ragione": ciò significa che BH e HE stanno anch'essi fra loro come diagonale e lato di un pentagono regolare, che può essere facilmente costruito. Tracciando l'arco EAJ, centrato in H e con raggio HE, si trova il punto J sul segmento BA. A questo punto BH è la diagonale del pentagono BFGHJ, in cui i lati BJ e JH sono congruenti con HE (non occorre in questa sede descrivere in che modo si determinano i punti F e G).
Ricapitoliamo: dati i segmenti BE (diagonale) e BA = BH (lato del pentagono) si trova la loro differenza HE = BJ; ma BH e BJ sono rispettivamente diagonale e lato del nuovo pentagono BFGHJ. Per proseguire secondo quanto disposto dalla citata proposizione di Euclide, occorre adesso trovare la differenza fra BH e BJ: ripetendo il meccanismo descritto sopra si trova il punto M, che fa parte del pentagono BKLMN. Ripetendo ancora il procedimento si ottiene il pentagono BOPQR, e così via: per quante volte si ripeta la costruzione, si troveranno sempre coppie di segmenti che stanno fra loro come il rapporto aureo; non arrivando mai ad ottenere due segmenti ''misurabili'' (secondo la proposizione di Euclide) ne risulterà che lato e diagonale del pentagono regolare sono incommensurabili.
===Apotema===
L'apotema può essere calcolato sottraendo la lunghezza di un raggio dal segmento h (si vedano per chiarezza in Fig. 2 i segmenti BT e AF, congruenti):
::<math>a = h - r = d \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} - r = r \sqrt{\frac{ 5+\sqrt{5}}{2}} \sqrt{\frac{5 + \sqrt{5}}{8}} - r = r \frac{1+\sqrt{5}}{4} \simeq 0{,}8090169943 r</math>
Un ultimo valore, che serve per calcolare l'area del pentagono regolare, è il cosiddetto Numero Fisso, definito come rapporto fra apotema e lato:
::<math>nf = \frac{a}{s} = \frac{r \frac{1+\sqrt{5}}{4}}{r \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}} = \sqrt{\frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}} \simeq 0{,}6881909602</math>
===Determinazione delle lunghezze per via trigonometrica===
[[File:Regular Pentagon Trigonometry.svg|thumb|Fig. 4: Determinazione lunghezze di lato, diagonale ed apotema per via trigonometrica]]
L'uso della [[trigonometria]] consente la determinazione delle lunghezze significative del pentagono regolare in modo più semplice rispetto a quello descritto sopra, anche se presenta alcune controindicazioni:
* l'uso di tabelle o calcolatori elettronici consente solo la determinazione approssimata delle lunghezze, non le espressioni algebriche basate su radicali che determinano tali lunghezze in modo esatto;
* non tutti coloro che si interessano di geometria classica conoscono la trigonometria;
* da un punto di vista storico, la trigonometria si sviluppa con [[Claudio Tolomeo|Tolomeo]], almeno quattro secoli dopo [[Euclide]], che a sua volta segue di secoli gli studi pionieristici della [[Pitagora|scuola Pitagorica]].
Dalla Fig. 4 si può ricavare il modo più semplice per determinare le varie lunghezze in basa al raggio della circonferenza circoscritta. Dati l'angolo α che coincide con l'angolo al centro del pentagono; e β, metà di tale valore, si ricava facilmente che il lato del pentagono CD vale:
::<math>s = 2r \sin \beta = 2 r \sin \frac{\pi}{5} = 2r \sin 36^\circ</math>
L'apotema OF:
::<math>a = r \cos \beta = r \cos \frac{\pi}{5} = r \cos 36^\circ</math>
La diagonale BE:
::<math>d = 2r \sin \alpha = 2r \sin \frac{2\pi}{5} = 2r \sin 72^\circ</math>
===Area===
L'area del pentagono è la somma delle aree di 5 triangoli con base pari al lato e altezza pari all'apotema. Di seguito le formule per il calcolo dell'area in base alle lunghezze del lato e del raggio della circonferenza circoscritta:
::<math>A = \frac{5}{2} s \cdot a = \frac{5}{2} s \cdot s \frac{a}{s} = \frac{5}{2} s^2 \cdot nf \simeq 1{,}7204774 s^2 </math>
::<math>A = \frac{5}{2} s \cdot a = \frac{5}{2} r \sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} \cdot r \frac{1+\sqrt{5}}{4} = \frac{5}{2} \sqrt{\frac{5+\sqrt{5}}{8}} r^2 \simeq 2{,}37764129 r^2</math>
===Rapporti fra lunghezze===
Nella tabella che segue si danno i valori esatti ed approssimati delle lunghezze del raggio r della circonferenza circoscritta, del lato s, della diagonale d, dell'apotema a, e dell'area A, in base a ciascuno degli stessi elementi lineari:
{| class="wikitable"
! Raggio (r)
! Lato (s)
! Diagonale (d)
! Apotema (a)
! Area (A)
|-
|<math>r \ = \ r</math>
|<math>s \ = \ r \ \sqrt{ \frac {5-\sqrt{5}} {2}}</math><br><br><math> \simeq \ 1{,}175570504 \ r</math>
|<math>d \ = \ r \ \sqrt{ \frac{ 5+\sqrt{5}} {2}}</math><br><br><math> \simeq \ 1{,}902113032 \ r</math>
|<math>a \ = \ r \ \frac{1+\sqrt{5}} {4} </math><br><br><math> \simeq \ 0{,}809016994 \ r</math>
|<math>A \ = \ r^2 \ \frac{5}{2} \ \sqrt{ \frac{5+\sqrt{5}} {8}} </math><br><br><math> \simeq \ 2{,}37764129 \ r^2</math>
|-
|<math>r \ = \ s \ \sqrt{ \frac {5+\sqrt{5}} {10}}</math><br><br><math> \simeq \ 0{,}8506508083 \ s</math>
|<math>s \ = \ s</math>
|<math>d \ = \ s \ \frac{\sqrt{5}+1} {2} </math><br><br><math> \simeq 1{,}618033989 \ s</math>
|<math>a \ = \ s \ \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}}{10} + \frac{1}{4}} </math><br><br><math> \simeq \ 0{,}688190960 \ s</math>
|<math>A \ = \ s^2 \ \frac{5}{2} \ \sqrt{ \frac{\sqrt{5}}{10} \ + \ \frac{1}{4}} </math><br><br><math> \simeq \ 1{,}720477400 \ s^2</math>
|-
|<math>r \ = \ d \ \sqrt{ \frac {5-\sqrt{5}} {10}}</math><br><br><math> \simeq \ 0{,}5257311121 \ d</math>
|<math>s \ = \ d \ \frac{\sqrt{5}-1} {2} </math><br><br><math> \simeq 0{,}618033989 \ d</math>
|<math>d \ = \ d</math>
|<math>a \ = \ d \ \frac{1}{2} \ \sqrt{ \frac{ \sqrt{5}+5}{10} } </math><br><br><math> \simeq 0{,}4253254041 \ d</math>
|<math>A \ = \ d^2 \ \frac{5}{4} \ \sqrt{ \frac{1}{2} \ - \ \frac{\sqrt{5}}{10}} </math><br><br><math> \simeq \ 0{,}6571638901 \ d^2</math>
|-
|<math>r \ = \ a \ ( \ \sqrt{5} \ - \ 1 \ ) </math><br><br><math> \simeq 1{,}236067977 \ a</math>
|<math>s \ = \ a \ \sqrt{20 \ - \ 8 \ \sqrt{5}} </math><br><br><math> \simeq 1{,}453085056 \ a</math>
|<math>d \ = \ a \ \sqrt{10 \ - \ 2 \ \sqrt{5}} </math><br><br><math> \simeq 2{,}351141009 \ a</math>
|<math>a \ = \ a</math>
|<math>A \ = \ a^2 \ 5 \ \sqrt{5 \ - \ 2 \sqrt{5}} </math><br><br><math> \simeq \ 3{,}6327126401 \ a^2</math>
|}
==Costruzione del pentagono regolare==
| |||