Insieme di generatori: differenze tra le versioni
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→Spazi vettoriali: L'affermazione rimossa è falsa: ad esempio, lo spazio vettoriale può essere quello nullo o, più in generale, il campo può essere finito. |
→Spazi vettoriali: Rivista completamente la sezione per correggere errori gravi ed inserire un ulteriore livello di generalizzazione nella definizione. |
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== Spazi vettoriali ==
{{vedi anche|Copertura lineare}}
Sia <math> V </math> uno [[spazio vettoriale]] definito su un [[Campo (matematica)|campo]] <math> K </math>.
Un insieme di generatori <math>G </math> dello spazio vettoriale <math>V </math> è un insieme di vettori tali che ogni vettore di <math>V </math>è una [[combinazione lineare]] di elementi di <math>G </math>.
<math>G = \lbrace v_1, ... , v_n\; |\; v = \sum\limits_{i=1}^n a_i v_i, \; a_1, ... , a_n \in K , \forall v \in V \} </math> .▼
In termini più formali, sia <math>I </math>un insieme di indici. Un sistema di generatori <math>G</math> di <math> V </math> è un insieme di vettori siffatto:
▲<math>G = \lbrace
La definizione fornita tiene conto del caso più generale, ovvero quello in cui un sistema di generatori possa essere costituito da un numero infinito di elementi.
Nel caso in cui il sistema di generatori <math>G </math>sia costituito da un numero finito di elementi, la definizione è equivalente alla seguente:
<math>G=\{v_1,...,v_n\in V\;|\;\forall v\in V, v=a_1 v_1+...+a_n v_n, a_1,...,a_n \in K \} </math>
Si possono immediatamente dedurre alcune proprietà:
* La [[Base (algebra lineare)|base]] di uno spazio vettoriale è sempre un sistema di generatori; al contrario, un sistema di generatori non è necessariamente una base.
* La minima cardinalità di un insieme <math> S </math> di generatori per <math> V </math> è la [[dimensione di Hamel|dimensione]] di <math> V </math>.
Un'altra definizione relativa allo spazio vettoriale può essere data facendo uso dell'operatore Span ([[copertura lineare]])<ref>{{Cita libro|autore = Marco Abate|titolo = Geometria|anno = 1996|editore = McGraw-Hill|città = Milano|pp = 31, 76}}</ref>:▼
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un insieme di vettori <math>G = \{v_1, ... , v_n\}</math> è un sistema di generatori per uno spazio vettoriale V se <math>V = Span (v_1, ... , v_n) </math>.▼
Una famiglia di vettori <math>(v_i)_{i\in I} </math> è un sistema di generatori per lo spazio vettoriale <math>V </math> se e solo se <math>V = Span ((v_i)_{i\in I}) </math>.
▲In particolare, un insieme finito di vettori <math>
== Note ==
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