Criterio di Eisenstein: differenze tra le versioni

Consideriamo il polinomio <math>\pi_p(f(x))</math>, ottenuto dal polinomio <math>f(x)</math> proiettandone i coefficienti in <math>\mathbb{Z}_p</math>; poiché per ipotesi <math>p</math> divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore, <math>\pi_p(f(x)) = c\cdot x^n</math> con <math>c\in\mathbb{Z}_p</math>, <math>c\neq0</math>. Poiché in <math>\mathbb{Z}_p[x]</math> vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di <math>f(x)</math> in <math>\mathbb{Z}_p[x]</math> sarà in monomi. Supponiamo ora che <math>f(x)</math> sia riducibile in <math>\mathbb{Z}[x]</math>, ovvero che esistano <math>g(x), h(x) \in \mathbb{Z}[x]</math> tali che <math>f(x)=g(x)\cdot h(x)</math> con <math> 1 \le deg(g),\ deg(h) \le deg(f)n-1 </math>. Si avrebbe che i fattori <math>g(x)</math> e <math>h(x)</math>, proiettati modulo <math>p</math>, sarebbero monomi, ovvero si avrebbe <math>\pi_p(g(x)) = d \cdot x^r</math> e <math>\pi_p(h(x)) = e \cdot x^{n-r}</math>, con <math>d, e \in\mathbb{Z}_p</math>, <math>d, e\neq0</math>.

È facile verificare che <math>\pi_p(g(0)) = \pi_p(g(x))(0) = 0</math> =e che <math>\pi_p(h(x))(0) = \pi_p(h(0)) = 0,</math>, dunque <math>p</math> divide <math>g(0)</math> e <math>h(0)</math>. Ma allora <math>p^2</math> divide <math>g(0)h(0) = f(0) = a_0,</math> contraddicendo l'ipotesi <math>p^2\nmid a_0</math>. Quindi <math>f(x)</math> non è fattorizzabile in <math>\mathbb{Z}[x]</math>, e dunque nemmeno in <math>\mathbb{Q}[x]</math> per il [[aritmetica modulare|lemma di Gauss]].