Criterio di Eisenstein

In algebra, il criterio di Eisenstein è un criterio per dimostrare l'irriducibilità di alcuni polinomi a coefficienti interi. Prende il nome dal matematico tedesco Gotthold Eisenstein.

Il criterioModifica

Sia   un polinomio primitivo a coefficienti interi

 

Il criterio di Eisenstein afferma che:

Se esiste un numero primo   tale che:

  •   non divide  ,
  •   divide  ,
  •   non divide  ,

Allora   è irriducibile tra i polinomi a coefficienti interi.

In altre parole, se valgono le ipotesi non esistono due polinomi a coefficienti interi   e   e di grado almeno uno tali che

 

Per il lemma di Gauss, non esistono neppure due polinomi   e   a coefficienti razionali di grado almeno uno il cui prodotto è  .

Il criterio può essere generalizzato a qualsiasi dominio a fattorizzazione unica: basta sostituire alla nozione di numero primo quella di elemento primo.

EsempioModifica

Consideriamo ad esempio il polinomio  ; a questo si può applicare il criterio a partire dal primo p=5, che divide 10 e 25, ma non 3; inoltre   non divide 10. Da questo si può dedurre che P(x) è irriducibile.

L'ultima condizione è importante: infatti se consideriamo il polinomio  , questo verifica le prime due condizioni, ma non la terza, e non è irriducibile: esiste infatti la fattorizzazione  

DimostrazioneModifica

Supponiamo per assurdo che esistano due polinomi G(x) e H(x) che fattorizzano P(x) (dove P(x) verifica le ipotesi del criterio di Eisenstein), di grado rispettivamente g e h; scomponiamo quindi P(x) come

 

Abbiamo allora

  e quindi   e  

da cui a meno di inversioni   e  , continuiamo

  per cui  

  per cui  

...

dalle espressioni precedenti si deduce  , quindi  , ma questo comporta che   e dunque l'assurdo  .

Dimostrazione alternativaModifica

Un'altra dimostrazione può essere data usando il campo   delle classi di resto modulo il primo  .

Consideriamo il polinomio  , ottenuto dal polinomio   proiettandone i coefficienti in  ; poiché per ipotesi   divide tutti i coefficienti escluso il coefficiente direttore,   con  ,  . Poiché in   vale la fattorizzazione unica, ogni fattorizzazione di   in   sarà in monomi. Supponiamo ora che   sia riducibile in  , ovvero che esistano   tali che   con  . Si avrebbe che i fattori   e  , proiettati modulo  , sarebbero monomi, ovvero si avrebbe   e  , con  ,  .

È facile verificare che   e che   dunque   divide   e  . Ma allora   divide   contraddicendo l'ipotesi  . Quindi   non è fattorizzabile in  , e dunque nemmeno in   per il lemma di Gauss.