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Derivata totale: differenze tra le versioni

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Nel [[calcolo differenziale]], la '''derivata totale''' di una [[funzione (matematica)|funzione]] di più variabili è la [[derivata]] della funzione che tiene conto della dipendenza reciproca delle variabili stesse. In altri termini, la derivata totale di una funzione rispetto ad una delle variabili prende in considerazione la dipendenza delle altre variabili dalla variabile rispetto alla quale si deriva.
 
Ad esempio, la derivata totale di <math>fF(t,x(t),y(t))</math> rispetto a <math>t</math> è:
 
:<math>\frac{\operatornamemathrm dfdF}{\operatornamemathrm dt}=\frac{\partial fF}{\partial t} \frac{\operatorname dt}{\operatorname dt} + \frac{\partial fF}{\partial x} \frac{\operatornamemathrm dx}{\operatornamemathrm dt} + \frac{\partial fF}{\partial y} \frac{\operatornamemathrm dy}{\operatornamemathrm dt}</math>
 
Ogni derivata totale è in corrispondenza biunivoca con una [[Forma differenziale|1-forma differenziale]] [[Forma differenziale#Forme chiuse ed esatte|esatta]]:
dove vi è la semplificazione:
 
:<math>{\mathrm dF}=\frac{\partial fF}{\partial t}\mathrm dt + \frac{\operatornamepartial dtF}{\operatornamepartial dtx}\mathrm =dx + \frac{\partial fF}{\partial ty}\mathrm dy</math>
 
dove <math>\mathrm dt</math>, <math>\mathrm dx</math> e <math>\mathrm dy</math> sono i [[Differenziale (matematica)|differenziali]].
e se
 
==Definizione==▼
:<math>\frac{\operatorname dx}{\operatorname dt}, \frac{\operatorname dy}{\operatorname dt}\ne0</math>
Sia <math>I\subset\mathbb{R}</math> un [[Intervallo (matematica)|intervallo]], <math>A\subset\mathbb{R}^{n+1}</math> [[Insieme aperto|aperto]], <math>\gamma:I\longrightarrow A,\ t\longmapsto \gamma(t)=(t,\gamma_1(t),\dots,\gamma_n(t))</math> [[Curva (matematica)|curva]] di [[Classe (matematica)|classe]] <math>\mathcal{C}^1</math> e una [[Funzione (matematica)|funzione]] <math>F:A\longrightarrow\mathbb{R},\ \gamma(t)\longmapsto F(\gamma(t))</math> anch'essa di classe <math>\mathcal{C}^1</math>.
 
Si definisce '''derivata totale''' di <math>F</math> rispetto a <math>t</math> la funzione:
la funzione di partenza si poteva scrivere in maniera più precisa come <math>f(t,x(t),y(t))</math>.
 
:<math>\frac{\mathrm d}{\mathrm d t} F (\gamma(t))
Moltiplicando per <math>\operatorname dt</math>, si ottiene il [[Differenziale (matematica)|differenziale]] <math>\operatorname df</math> di <math>f</math>:
= \frac{\partial f}{\partial t}F(\gamma(t)) + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial p_i\gamma_i(t)}F(\frac{gamma(t))\operatorname{d}p_i}{cdot\operatorname{d}gamma^\prime_i(t})▼
:<math>{\operatorname= df}=\frac{\partial f}{\partial t}F(\operatorname dtgamma(t)) + \frac{\partial f}{\partial x\gamma_1(t)} F(\operatornamegamma(t))\cdot\gamma^\prime_1(t) dx+ \ldots + \frac{\partial f}{\partial y\gamma_n(t)} F(\operatorname dygamma(t))\cdot\gamma^\prime_n(t)</math>
 
Si può osservare che
Si tratta di una [[forma differenziale]] [[Differenziale esatto|esatta]].
 
:<math>\frac{\mathrm d F}{\mathrm d t}(\gamma(t))\cdot\mathrm dt = \langle\nabla F(\gamma(t)),\gamma^\prime(t)\rangle</math>
▲==Definizione==
Si consideri una funzione <math>f(t, p_1, \dots , p_n)</math> dipendente da <math>t</math> e da ''n'' variabili <math>p_i</math> che a loro volta dipendono da <math>t</math>. La derivata totale di <math>f</math> rispetto a <math>t</math> è:
 
=== Esempio ===
:<math>\frac{\operatorname d}{\operatorname d t} f \bigl(t, p_1(t), \ldots, p_n(t)\bigr)
Siano <math>A</math> un sottoinsieme aperto di <math>\mathbb{R}^4</math> <math>(a,b) \subset \mathbb{R}</math> un intervallo e <math>\mathbf r(t):(a,b)\longrightarrow A</math>, con <math>\mathbf r(t) = (x(t),\ y(t),\ z(t),\ t)\quad \forall t\in (a,b)</math>. Data una funzione <math>f:A\to\mathbb{R}</math>, si può definire una funzione <math>F:(a,b)\to \mathbb{R} </math> data da:
▲= \frac{\partial f}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial p_i}\frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}
= \biggl(\frac{\partial}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \frac{\operatorname{d}p_i}{\operatorname{d}t}\frac{\partial}{\partial p_i}\biggr)f</math>
 
Più formalmente, siano <math>A</math> un sottoinsieme aperto di <math>\mathbb{R}^k</math> e <math>x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t)</math> funzioni definite nell'intervallo <math>(a,b) \in \mathbb{R}</math>. Data una funzione <math>f:A\to\mathbb{R}</math>, se:
 
:<math>\mathbf{x}(t) = (x_1(t), x_2(t),\dots,x_k(t))\in A \qquad \forall t\in (a,b)</math>
 
si può definire una funzione <math>F:(a,b)\to \mathbb{R} </math> data da:
 
:<math>F(t) \equiv f(\mathbf{x}(t)) \qquad \forall t\in (a,b)</math>
Line 38 ⟶ 31:
ed è possibile mostrare che se le tutte le funzioni <math>x_i(t)</math> sono derivabili nel punto <math>t_0 \in (a,b)</math> e se <math>f</math> è [[funzione differenziabile|differenziabile]] nel punto <math>\mathbf{x}(t_0) \in A</math> allora <math>F</math> è derivabile in <math>t_0</math> e si ha:
 
:<math>F'(t_0) = \sum_{i=1}^k4 f_{x_i}(\mathbf x(t_0))x'_i(t_0)</math>
 
Ponendo <math>k=4</math> e:
 
:<math>x_1(t)=x(t) \qquad x_2(t)=y(t) \qquad x_3(t)=z(t) \qquad x_4(t)=t</math>
 
pertanto l'ultima espressione diviene:
 
:<math>F'(t_0) = \left(\frac{\operatornamemathrm d}{\operatornamemathrm dt}f(x(t),y(t),z(t),t)\right)_{t=t_0} = \left(\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\operatornamemathrm{d}x}{\operatornamemathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\operatornamemathrm{d}y}{\operatornamemathrm{d}t}+ \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\operatornamemathrm{d}z}{\operatornamemathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial t}\right)_{t=t_0}</math>
 
==Applicazione in fisica==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Derivata_totale"