Coppia (matematica): differenze tra le versioni
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==Definizione==
Una coppia ordinata si distingue da un insieme di due elementi per il fatto che <math>(a,b)</math> è diverso da <math>(b,a)</math>. Di conseguenza due coppie ordinate <math>(a_1,b_1)</math> e <math>(a_2,b_2)</math> sono uguali se e solo se <math>a_1</math> è uguale a <math>b_1</math> e <math>a_2</math> è uguale a <math>b_2</math>. Questa è la principale proprietà delle coppie ordinate, e pertanto qualunque definizione si dia di coppia ordinata, bisogna che a partire da essa sia possibile dimostrare il seguente teorema:
:<math>(a_1,b_1) = (a_2,b_2) \Leftrightarrow a_1=a_2 & b_1=b_2</math>
Attualmente come definizione standard di coppia si adotta quella proposta da Kuratowski:
:<math>(a,b)= \{\{a\},\{a,b\}\}</math>
dalla quale la dimostrazione del suddetto teorema risulta immediata. Infatti usando tale definizione l'uguaglianza fra le coppie ordinate:
:<math>(a_1,b_1) = (a_2,b_2)</math>
equivale alla seguente uguaglianza fra insiemi:
:<math>\{\{a_1\},\{a_1,b_1\}\} = \{\{a_2\},\{a_2,b_2\}\}</math>
Ora, due insiemi sono uguali se contengono gli stessi elementi, per cui nel secondo insieme ci deve essere un elemento uguale a <math>\{a_1\}</math>. Tale elemento non può essere <math>\{a_2,b_2\}</math>, sicché bisogna che sia <math>\{a_2\}</math>. Ma allora, se <math>\{a_1\}</math> è uguale ad <math>\{a_2\}</math>, deve anche essere <math>a_1=a_2</math>. Passando poi all'insieme <math>\{a_1,b_1\}</math> esso, per ragioni analoghe, non può che essere uguale ad <math>\{a_2,b_2\}</math>, e poiché abbiamo già dimostrato che <math>a_1=a_2</math> bisogna che sia anche <math>b_1=b_2</math>.
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