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Riga 4: Essendo coinvolta, insieme alla [[velocità angolare]], nella definizione la velocità di rotazione per descrivere del [[Moto (fisica)\|moto]] lungo una curva, il suo impiego maggiore è nello studio dei moti [[Periodo (fisica)\|periodici]] quali ad esempio il [[moto circolare]] e il [[moto armonico]]. La velocità areolare e la velocità angolare sono sempre vettori paralleli, ma non necessariamente sono proporzionali in modulo. L'unità di misura nel [[Sistema internazionale di unità di misura\|Sistema internazionale]] èm<sup>2</sup>·s<sup>−1</sup> (''[[Metro quadrato\|metri quadri]] al [[secondo]]~~, cioè m<sup>2</sup>·s<sup>−1</sup>~~''). ==Descrizione== Riga 15: dove <math>\mathbf A_1</math> e <math>\mathbf A_2</math> sono le posizioni areolari agli istanti iniziale <math>t_1</math> e finale <math>t_2</math>. Si definisce ''velocità areolare istantanea'' <math>\dot\mathbf A</math> il valore il [[Limite di una funzione\|limite]] della velocità media nell'intorno di un determinato istante, ovvero la [[derivata]] prima della posizione angolare rispetto al tempo: : <math>\dot\mathbf A = \lim_{t_2 \to t_1}\frac{\mathbf A(t_2) - \mathbf A(t_1)}{t_2-t_1} = \lim_{\Delta t \to 0 } \frac {\mathbf A(t + \Delta t) - \mathbf A(t)}{\Delta t} = \frac {\mathrm d\mathbf A}{\mathrm d t}</math> Riga 25: La velocità areolare è:<math>\dot\mathbf{A}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\mathbf{r}(t+\Delta t)}{2\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times[\mathbf{r}(t)+ \dot\mathbf{r}(t)\Delta t]}{2\Delta t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)\Delta t}{2\Delta t}=\frac{\mathbf{r}(t)\times\dot\mathbf{r}(t)}{2}</math> Ma <math>\dot\mathbf{r}(t)</math> è la [[Velocità\|velocità lineare]] del vettore <math>\mathbf v(t)</math>, per cui: :<math>\dot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{2}</math>. dove <math>\mathbf v</math> rappresenta la [[velocità tangenziale]]. ==Legame con il momento angolare e il momento meccanico== Line 39 ⟶ 43: :<math>\mathbf{M}= 2\cancel{\frac{\mathrm dm}{\mathrm dt}}\dot\mathbf A + 2m\ddot\mathbf A + \boldsymbol\omega \times 2m\dot\mathbf A = 2m(\ddot\mathbf A + \boldsymbol\omega \times \dot\mathbf A)</math> dove ~~<math>\boldsymbol\alpha</math><math>\boldsymbol\alpha</math>~~<math>\ddot\mathbf A</math> è l'[[accelerazione areolare]]. Pertanto, se nel sistema in esame <math>\mathbf L</math> risulta parallelo a <math>\boldsymbol\omega</math>, si ha che il momento meccanico è: :<math>\mathbf{M} = 2m\ddot\mathbf A</math> Line 46 ⟶ 50: :<math>E_k = \frac{1}{2}\mathbf{L}\cdot\boldsymbol{\omega}=m\dot\mathbf{A}\cdot\boldsymbol{\omega}</math> ~~== Accelerazione areolare ==~~ ~~Come avviene per le altre velocità, l''''accelerazione areolare''' è definita come la [[derivata]] prima, rispetto al tempo, della velocità areolare:~~ : <math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\operatorname{d}\!\dot\mathbf{A}}{\operatorname{d}\!t} = \hat\mathbf n \frac{\operatorname{d^2}\!\!A}{{\operatorname{d}\!t}^2}=\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}\left(\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{v}}{2}\right)=\frac{1}{2}\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!t}(\mathbf{r}\times\mathbf{v})=\frac{1}{2}\left(\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{r}}{\operatorname{d}\!t}\times\mathbf{v}+\mathbf{r}\times\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{v}}{\operatorname{d}\!t}\right)</math> ma <math>\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{r}}{\operatorname{d}\!t}</math> e <math>\mathbf{v}</math> sono vettori paralleli, dunque il loro [[prodotto vettoriale]] è nullo, mentre <math>\frac{\operatorname{d}\!\mathbf{v}}{\operatorname{d}\!t}</math> è uguale ad <math>\mathbf{a}</math>, l'[[accelerazione tangenziale]]. ~~Perciò dalla formula scritta sopra si ottiene:~~ ~~: <math>\ddot\mathbf{A}=\frac{\mathbf{r}\times\mathbf{a}}{2}</math>~~ ~~che è l'espressione dell'accelerazione areolare. Nel SI si misura in <math>\mathrm{\frac{m^2}{s^2}}</math>.~~ == Moto centrale ==

Velocità areolare: differenze tra le versioni