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Nell'ambito dellaIn [[matematicafisica]], ein particolare nell'ambito dello studio dei [[fenomeni di trasporto]], le '''leggi di Fick''' sono [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|equazioni differenziali alle derivate parziali ellittiche]] non lineari che descrivono le variazioni di [[concentrazione (chimica)|concentrazione]] nei materiali in cui sono in atto fenomeni di [[diffusione molecolare]] in assenza di [[diffusione termica]], che invece viene tenuta in conto dalla più generale [[legge di Soret]]. Prendono il nome dal [[fisiologia|fisiologo]] [[Germania|tedesco]] [[Adolf Fick]], che per primo le sviluppò nel [[1855]].<ref>{{Cita web|url=http://www.treccani.it//enciclopedia/adolf-fick|titolo=Fick, Adolf nell'Enciclopedia Treccani|accesso=2019-06-08|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20181209124614/http://www.treccani.it/enciclopedia/adolf-fick/|dataarchivio=9 dicembre 2018|urlmorto=sì}}</ref>
Un esempio pratico di diffusione può essere quello di una goccia di [[caffè]] in una tazza di [[latte]]: attraverso la diffusione le sostanze che costituiscono la goccia di caffè si muovono, (o meglio "''diffondono")'', nel latte miscelandosi a esso e tale moto di diffusione continua fino all'ottenimento di una miscela di concentrazione uniforme; l'uniformità della concentrazione è indicata dal fatto che la miscela di caffè e latte ottenuta presenta un colore uniforme.
==Prima legge di Fick==
La prima legge, valida [[Stato stazionario (fisica)|condizioni stazionarie]], descrive la diffusione [[Anisotropia|anisotropa]] di una specie i-esima nelle dimensioni spaziale in mezzi [[Omogeneità ed eterogeneità|omogenei]]:<ref>{{Cita|Bird|pp. 511-512.}}</ref>
{{C|Controllare la correttezza delle unità di misura e che siano corrispondenti a quanto scritto nella fonte indicata.|fisica|novembre 2018}}
La prima legge descrive la diffusione nelle dimensioni spaziale ed è perciò [[condizione necessaria e sufficiente|sufficiente]] solo in ''[[Stato stazionario (fisica)|condizioni stazionarie]]'':
:<math>\vecmathbf J_\Phi J= - D_{ij} \nabla (D \phi)Phi_i</math>
Dovedove <math>\vecmathbf JJ_\Phi</math> è la [[Densità di corrente|densità di flusso]] della specie diffondente (dimensionalmente {{Tutto attaccato|mol m<sup>−2</sup> s<sup>−1</sup>}}), il [[nabla]] esprime la derivata spaziale, <math>DD_{ij}</math> è la [[diffusività di materia]] (dimensionalmente {{Tutto attaccato|m<sup>2</sup> ·s<sup>−1-1</sup>}}) e <math>\phiPhi_i</math> è la [[Concentrazione (chimica)|concentrazione]] della specie diffondente (dimensionalmente {{Tutto attaccato|mol m<sup>−3</sup>}}) <ref>{{Cita|Bird|pp. 511-512.}}</ref>: ilIl segno negativo esprime il movimento della corrente da una concentrazione più alta a una più bassa. SviluppandoSi ilpuò ottenere una formulazione alternativa della prima legge di gradienteFick sifacendo ottienericorso alla [[coefficiente di scambio di materia]] <math>d_{ij}</math>:
:<math>\vecmathbf J_\Phi J= - DD_{ij} \nabla (\phi -Phi_\text{tot} \phicdot \nabla Dphi_i) = - D\Phi_\text{tot} D_{ij} \nabla \phiphi_i = - \phid_{ij} \vecnabla v\phi_i</math>
dove <math>v\phi_i</math> è la velocitàfrazione della specie diffondente. Se la diffusione è anche [[isotropia|isotropa]], l'equazione si riduce a:
:<math>\vec J = - D \nabla \phi</math> ▼
==Seconda legge di Fick==
La seconda legge di Fick, che descrive il processo di diffusione nella dimensione temporale, è una forma semplificata dell'equazione di [[Equazione di bilancio#Bilancio di materia|bilancio di materia]], poiché è presente soltanto la componente diffusiva del flusso netto:
La seconda legge di Fick è un'[[Bilancio (fenomeni di trasporto)|equazione di bilancio]] che descrive il processo di diffusione nella dimensione temporale:
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t} + \nabla \cdot \vec J = 0 </math> ▼
Qualsiasi grandezza scalare immersa in un [[fluido]] che si muove con [[velocità]] <math>- \nabla D</math> è sottoposta a un [[moto browniano]], ovvero a una diffusione [[Spazio (fisica)|spaziale]] e [[tempo]]rale nel fluido stesso. Detta <math>\phi</math> la grandezza che si diffonde, la [[legge fisica|legge]] che regola questa diffusione è: ▼
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t}-\nabla D\cdot\nabla \phi=D \nabla^2 \phi</math> ▼
==Diffusione molecolare==
{{vedi anche|Equazione del calore}} ▼Il [[sistema di equazioni|sistema]] delle due leggi di Fick porta a una equazione della diffusione (equazione del calore), detta di Fick:
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t} = \nabla \cdot (D\,\nabla\phi)</math> ▼
Essa può essere ulteriormente generalizzata nell'[[equazione di Smoluchowski]].
Scendendo invece nel particolare si distinguono due casi notevoli per la semplificazione che introducono:
*Se <math>\phi</math> è costante nel tempo l'equazione diventa:
:<math>D\, \nabla^2 \phi\ + \vec v \cdot \nabla \phi = 0</math>
▲:<math>\frac{\partial \ phiPhi_i}{\partial t} += - \nabla \cdot \ vecmathbf J = 0 </math>
*Se la diffusività <math>D</math> è uniforme l'equazione si riduce nel [[Operatore di Laplace|laplaciano]]:
▲{{vedi=== anche|Equazione del calore }} ===
:<math>\frac{\partial \phi}{\partial t} = D\, \nabla^2 \phi</math>
In [[analisi matematica]], l'[[equazione differenziale]] alle derivate parziali che ha la stessa forma di quest'ultima relazione è detta [[equazione del calore]]:
▲: <math>\frac{\partial \phiu}{\partial t} =- a\nabla ^2 \cdotu (D\,\nabla\phi)= 0</math>
Se si verificano entrambe le condizioni di uniformità diffusiva e stazionarietà si ha l'[[equazione di Laplace]]:
in particolare, essa un'[[equazione differenziale alle derivate parziali ellittica]] non lineare.
:<math> \nabla^2\,\phi =0</math>
== Generalizzazioni ==
==Generalizzazione per mezzi non omogenei e anisotropi== ▼Le leggi di Fick possono essere generalizzate in molti modi. Ad esempio, poiché esse non tengono conto [[diffusione termica]], la [[termoforesi]] viene descritta dalla più generale [[legge di Soret]], mentre la presenza di attrito viscoso può essere generalizzata dall'[[equazione di Smoluchowski]].
In mezzi non [[Omogeneità ed eterogeneità|omogenei]] il coefficiente di diffusione è funzione dello spazio, cioè <math>D=D(x)</math>, e tale dipendenza spaziale non influisce sulla prima legge. La seconda si modifica come segue: ▼
▲===Generalizzazione per mezzi non omogenei e anisotropi===
:<math>\begin{align}
▲In mezzi non [[Omogeneità ed eterogeneità|omogenei]] il coefficientetensore di diffusionediffusività è funzione dello spazio, cioè <math> DD_{ij} = D D_{ij}(x)</math> ,. eIn talequesto dipendenzacaso spaziale non influisce sullala prima legge . La seconda si modifica come seguediventa:
\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}
&=\nabla\cdot (D(x) \nabla \phi(x,t))\\
&=D(x) \Delta \phi(x,t)+\sum_{i=1}^3 \frac{\partial D(x)}{\partial x_i}
\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x_i}
\end{align} </math>
▲:<math>\ vecmathbf JJ_\Phi = - D \nabla (D_{ij} \ phiPhi)</math>
In mezzi [[Anisotropia|anisotropi]] il coefficiente di diffusione dipende dalla direzione. Si tratta di un [[tensore]] simmetrico <math>D=D_{ij}</math>, e la prima legge diventa:
Sviluppando il gradiente si ottiene:
:<math>J=-D \nabla \phi</math>
:<math>\mathbf J_\Phi = - D_{ij} \nabla \Phi - \Phi \nabla D_{ij} = - D_{ij} \nabla \Phi - \Phi \mathbf v</math>
che è il prodotto di un tensore e un vettore:
dove <math>\mathbf v</math> è la velocità della specie. La seconda per i mezzi che sono non-omogenei e anisotropi si modifica come segue:
:<math>J_i=-\sum_{j=1}^3D_{ij} \frac{\partial \phi}{\partial x_j} </math> ▼
:<math>\frac{\partial \ phiPhi_i(x,t)}{\partial t} = \nabla\cdot ( DD_{ij}(x) \nabla \ phiPhi_i (x,t)) = \sum_{i,j=1}^ 3D_3\left(D_{ij} (x) \frac{\partial^2 \ phiPhi_i(x,t)}{\partial x_i \partial x_j} \ </math>▼Per l'equazione del calore questa formula fornisce:
▲:<math>J_i=-+ \ sum_frac{ j=1}^3D_\partial D_{ij }(x)}{\partial x_i } \frac{\partial \ phiPhi_i(x,t)}{\partial x_j} \right) </math>
Affinché il membro alla destra sia un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], lail [[ matricetensore simmetricasimmetrico]] dei coefficienti di diffusionediffusività <math>D_{ij}</math> deve essere [[matrice definita positiva| positivapositivo]]. ▼▲:<math>\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}=\nabla\cdot (D \nabla \phi(x,t))=\sum_{i,j=1}^3D_{ij} \frac{\partial^2 \phi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}\ </math>
▲Affinché il membro alla destra sia un [[Equazione differenziale alle derivate parziali ellittica|operatore ellittico]], la [[matrice simmetrica]] dei coefficienti di diffusione <math>D_{ij}</math> deve essere [[matrice definita positiva|positiva]].
▲Qualsiasi grandezza scalare immersa in un [[fluido]] che si muove con [[velocità]] <math>- \nabla DD_{ij}</math> è sottoposta a un [[moto browniano]], ovvero a una diffusione [[Spazio (fisica)|spaziale]] e [[tempo]]rale nel fluido stesso. Detta <math>\ phiPhi_i</math> la grandezza che si diffonde, la [[legge fisica|legge]] che regola questa diffusione è:
▲:<math>\frac{\partial \ phiPhi_i}{\partial t} - \nabla DD_{ij} \cdot \nabla \ phiPhi_i = D D_{ij} \nabla^2 \ phiPhi_i</math>
Per mezzi che sono non-omogenei e anisotropi le due forme dell'equazione del calore sono combinate:
== Applicazioni ==
:<math>\begin{align}
\frac{\partial \phi(x,t)}{\partial t}
&=\nabla\cdot (D(x) \nabla \phi(x,t))\\
&=\sum_{i,j=1}^3\left(D_{ij}(x) \frac{\partial^2 \phi(x,t)}{\partial x_i \partial x_j}
+ \frac{\partial D_{ij}(x)}{\partial x_i } \frac{\partial \phi(x,t)}{\partial x_j}\right)
\end{align} </math>
===Farmacocinetica===
La legge di Fick viene anche utilizzata nello studio del trasporto di materia attraverso [[Membrana semipermeabile|membrane]] biologiche.<ref>{{Cita web|url=http://www.galenotech.org/diffusione.htm|titolo=il concetto di gradiente, la legge di Fick e la legge di Graham|accesso=2019-06-08}}</ref><ref>{{Cita web|url=http://utenti.unife.it/paola.guandalini/medicina/funzione_respiratoria/05.pdf|titolo=Diffusione dei gas respiratori - Legge di Fick|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20100705031834/http://utenti.unife.it/paola.guandalini/medicina/funzione_respiratoria/05.pdf|urlmorto=yes}}</ref> Quando la legge di Fick viene applicata all'assorbimento tramite [[trasporto passivo]] di una molecola attraverso una membrana biologica assume l'aspetto dell'equazione:
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