Equazioni di Eulero-Lagrange: differenze tra le versioni

In tal caso le equazioni di Eulero-Lagrange mostrano che la variazione temporale di <math>y_k</math> è nulla, e pertanto si tratta di una costante del sistema; inoltre, <math>x_k</math> è detta ''variabile ciclica''.

 

{{vedi anche|Principio di minima azione}}

Si consideri un sistema fisico descritto da <math>n</math> [[coordinate generalizzate]] <math>\mathbf q = (q_1,\dots,q_n)</math> che evolve tra due stati <math>\mathbf q_1= \mathbf q(t_1)</math> e <math>\mathbf q_2= \mathbf q(t_2)</math> nell'intervallo temporale compreso tra gli istanti <math>t_1</math> e <math>t_2</math>. Il principio variazionale di Hamilton afferma che l'evoluzione del sistema, descritta dalla [[Curva (matematica)|curva]] <math>\mathbf q(t)</math>, è un [[Punto critico (matematica)|punto stazionario]] del [[funzionale]] [[Azione (fisica)|azione]] <math>\mathcal{S}</math> (solitamente un punto di minimo) per piccole perturbazioni della traiettoria. In altri termini, l'evoluzione del sistema tende a minimizzare il valore dell'integrale che definisce l'azione.<ref name=def/> Dal punto di vista matematico questo si traduce nel fatto che l'evoluzione del sistema fisico è la soluzione dell'[[calcolo variazionale|equazione variazionale]]: