Funzioni di più variabili complesse: differenze tra le versioni

[[funzione in più variabili|in più variabili]] ''z''<submath>1f(z_1,\dots,z_n)</submath>&nbsp;...&nbsp;''z_n'', definite sullo spazio delle [[Ennupla|ennuple]] di [[numeri complessi]], <math>\Complex^n</math>, ove ''n>1'', ed a valori nei numeri complessi. Come in [[analisi complessa]], che si occupa del caso molto particolare ''per <math> n''&nbsp; =&nbsp; 1</math>, non vengono considerate tutte le funzioni, ma solo quelle ''[[Funzione analitica#Funzioni analitiche in più variabili|analitiche]]'', cioè le funzioni che sono rappresentabili localmente come [[Serie di potenze#Serie di potenze di più variabili|serie di potenze]] nelle variabili ''z''<submath>1z_1,\dots,z_n</submath>&nbsp;...&nbsp;''z_n''.

Ad Hartogs sono dovuti alcuni risultati basilari, tra cui il [[teorema di Hartogs|teorema]] che afferma che le funzioni analitiche in più variabili sono esattamente quelle che sono analitiche in ciascuna variabili separatamente, e la dimostrazione che le funzioni in più variabili complesse non hanno [[singolarità isolata|singolarità isolate]], contrariamente a quanto accade per ''<math> n''&nbsp; =&nbsp; 1</math>. Questo risultato, unito al fatto che per ''<math> n''&nbsp; >&nbsp; 1</math> gli integrali di contorno sono integrali su [[Varietà (geometria)|varietà]] 2''n''&nbsp;<math> 2n -&nbsp; 1</math> dimensionali (essendo <math>\Complex^2</math> uno spazio quattro-dimensionale sui [[numero reale|<math>\R</math>]]), fa sì che il [[calcolo dei residui]] sia estremamente più complicato rispetto al caso dell'analisi complessa, nella cui teoria il [[teorema dei residui]] svolge un ruolo fondamentale.

Dopo il [[1945]] la situazione cambiò radicalmente a seguito di importanti risultati ottenuti in Francia, nell'ambito dei ''Seminari [[Henri Cartan]]'', e in Germania grazie ai lavori di [[Hans Grauert]] e [[Reinhold Remmert]]. Molti problemi vennero chiariti, in particolare quello della [[continuazione analitica]], in cui risulta particolarmente evidente la differenza con la teoria per funzioni di una variabile. Infatti, mentre per ogni sottoinsieme [[Insieme aperto|aperto]] e [[spazio connesso|connesso]] di <math>\Complex</math> si può trovare una funzione che non sia prolungabile con continuità in una funzione analitica sulla frontiera, non è detto che questo risultato valga per ''<math>n'' > 1</math>. In effetti, gli insiemi che godono di questa proprietà sono piuttosto speciali, e vengono detti [[insieme pseudoconvesso|insiemi pseudoconvessi]]. Essi vennero introdotti da [[Eugenio Elia Levi]] nel 1910.<ref>Si veda ad esempio {{cita pubblicazione | cognome=Villani | nome=Vinicio| titolo= Su una classe di domini di olomorfia approssimabili dall'esterno| rivista=Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa | volume=14 | numero=4 | data= [[1960]] | pagine=349-361| url=http://www.numdam.org/item?id=ASNSP_1960_3_14_4_349_0 | accesso=4 ottobre 2011 }} a pagina 253.</ref> .