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Teorema di equipartizione dell'energia: differenze tra le versioni

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</math>
 
Poiché <math> \rho = \frac{\partial \Sigma}{\partial E} </math> il teorema di equipartizione diventa (temperatura assoluta T misurata nelle stesse unità dell'energia):
 
:<math>
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle =
\delta_{mn} \Bigl(\frac{1}{\Sigma} \frac{\partial \Sigma}{\partial E}\Bigr)^{-1} =
\delta_{mn} \Bigl(\frac{\partial \log \Sigma} {\partial E}\Bigr)^{-1} = \delta_{mn} k_{B} T.
</math>
 
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:<math>\!
\Bigl\langle x_{m} \frac{\partial H}{\partial x_{n}} \Bigr\rangle = \delta_{mn} k_{B} T</math>
 
== Utilità pratica del teorema ==
== Applicazioni ==
L'applicazione del teorema di equipartizione dell'energia permette di calcolare, con l'approssimazione al [[gas ideale|gas perfetto]], il [[calore specifico]] dei gas monoatomici e biatomici. I valori ottenuti per i gas poliatomici, invece, si discostano notevolmente dai valori reali a causa della complessità molecolare che determina un aumento delle possibili modalità vibrazionali.
I valori ottenuti per i gas poliatomici, invece, si discostano notevolmente dai valori reali a causa della complessità molecolare che determina un aumento delle possibili modalità vibrazionali.
 
Il calore specifico molare a [[volume]] costante, è definito dalla formula
 
:<math> cC_V = \frac {1}{Nn} \left (\frac {\partial uU} {\partial T}\right)_V </math>
 
ma per un gas ideale, larelativamente capacitàad termicauna permole, unitàsi dipuò sostanza è:scrivere
 
:<math> cC_V = \frac {dudU}{dT} </math>
 
Applicando questa relazione sottintendendo U<sub>0</sub>, costante e indipendente dalla [[temperatura]], e il termine E<sub>e</sub> anch'esso indipendente dalla temperatura, per un gas monoatomico (ad esempio [[gas nobile|gas nobili]], vapori di [[Mercurio (elemento)|mercurio]], ecc.) si ha:
 
:<math> U = \frac {3}{2} R T </math>
 
:<math> cC_V = \frac {d}{dT} \left (\frac {3}{2} R T \right) = \frac {3}{2} = 1.5 * 1.988 cal/\text{mol K}R = 2,98 \text{ cal}/(\text{mol K}) </math>
 
sida ècui utilizzatosi quipuò peranche la conversionericavare il valore [[costante dei gas]] di 1.988 calorie ogni mole grado centigrado. Il calore specifico molare a [[pressione]] costante, basandosidalla sulla [[relazione di Mayer]] valida per i gas ideali vale corrispondentemente:
 
:C<sub>P</sub> = C<sub>V</sub> + R
:<math> c_p = c+1 = \frac {5}{2} = 2.5 * 1.988 cal/(\text{mol K} = 4,97 \text{ cal}/(\text{mol K}) </math>
 
Per i gas perfetti biatomici, ad esempio [[idrogeno|H<sub>2</sub>]], [[ossigeno|O<sub>2</sub>]] e [[azoto|N<sub>2</sub>]], bisogna distinguere i casi a temperature ordinarie da quelli ad alta temperatura.
 
A temperature ordinarie si ipotizza che la vibrazione non cientri siain vibrazionegioco nel determinare il calore specifico. Quindi, ricordando i calcoli precedenti per i gas biatomici, si ha:
 
:<math> cC_V = \frac {d}{dT} \left (\frac {5}{2} R T \right) = \frac {5}{2} = 2.5 * 1.988 cal/\text{mol K}R = 4,97 </math> cal x mole<sup>-1</sup> x K<sup>-1</sup>
 
Ad alte temperature il calcolo del calore specifico deve tenere conto anche del contributo vibrazionale. Pertanto, ricordando sempre il valore di U precedentemente ottenuto, si ha
Ad alte temperature entra in gioco la vibrazione delle molecole:
 
:<math> cC_V = \frac {d}{dT} \left (\frac {7}{2} R T \right) = \frac {7}{2} = 3.5* 1.988 cal/\text{mol K}R = 6,95 </math> cal x mole<sup>-1</sup> x K<sup>-1</sup>
 
L'applicazione del teorema di equipartizione dell'energia viene frequentemente sfruttata nell'ambito di calcoli teorico-pratici, tenendo però sempre conto delle approssimazioni legate al gas perfetto e all'assunto della non quantizzazione dell'energia (che bisogna prendere in considerazione per calcoli più rigorosi).
Line 143 ⟶ 142:
:<math> U_{el} = \frac {1}{2} k \widehat {z^2} </math>
 
dove <math>k</math> è la costante elastica del cantilever e <math>\widehat{z^2}</math> la deflessione quadratica media, misurata a partire dalla sua oscillazione termica. Applicando il teorema di equipartizione dell'energia si ottiene quindi la relazione che permette di calcolare la costante elastica <math>k</math> al netto di tutti i fattori correttivi a causa di effetti di natura geometrica:
 
:<math> k=\frac{Tk_BT}{\widehat{z^2}} </math>▼
Applicando il teorema di equipartizione dell'energia si ottiene quindi la relazione che permette di calcolare la [[rigidezza]] <math>k</math> al netto di tutti i fattori correttivi a causa di effetti di natura geometrica:
 
▲:<math> k=\frac{T}{\widehat{z^2}} </math>
 
== Note ==
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