Cammino libero medio: differenze tra le versioni
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Questo [[parametro (matematica)|parametro]] è descritto dalla [[formula]] generale <math>\lambda = \frac {{v_m}}{{Z}}</math>, dove v<sub>m</sub> è la [[velocità media]] e Z la [[frequenza]]
Spesso il '''cammino libero medio''' viene indicato con la [[lingua greca antica|lettera greca]] λ.
Il cammino libero medio è un parametro di fondamentale importanza in ambiti quali la [[meccanica dei fluidi|meccanica]] e [[dinamica dei fluidi]], la [[cinetica chimica]] e l'elettronica a stato solido.
==Bersaglio fisso==
[[File:Mean free path.png|frame|Slab of target]]
Immaginiamo di avere un fascio di particelle di dimensioni trascurabili che attraversano un insieme di atomi (bersaglio). Si ipotizza a priori che la velocità degli atomi del bersaglio sia trascurabile rispetto a quella del fascio di particelle. Consideriamo un lamina infinitesima del bersaglio (come indicato in figura) <ref>{{cita libro |Cognome=Chen |Nome=Frank F.|titolo=Introduction to Plasma Physics and Controlled Fusion |anno=1984 |editore=Plenum Press |isbn=0-306-41332-9 |p=156 |edizione=I}}</ref>.
Gli atomi sono rappresentati in rosso. Definiamo con <math>n </math> il [[Densità di numero|numero di atomi per unità di volume]] contenuti nel bersaglio.
L'area della lamina infinitesima è pari <math>L^2 </math> ed il suo volume è <math>L^2dx </math>. Il numero di atomi che possono fermare il fascio nella lamina è dato dal prodotto di tale volume per la densità numerica del bersaglio <math>N=nL^2dx</math>. Dal punto di vista delle particelle del fascio gli atomi del bersaglio sono dei dischi di area <math>\sigma </math>. La probabilità che il fascio sia fermato nella lamina infinitesima è dato dal rapporto tra superficie netta degli atomi <math>\sigma N</math> nella lamina diviso l'area totale della lamina:
:<math>P(\text{urto in }dx) = \frac{\text{Area}_\text{atomi}}{\text{Area}_\text{lamina}} = \frac{\sigma n L^{2}\, dx}{L^{2}} = n \sigma\, dx,=\frac {dx}{\lambda}</math>
avendo definito con:
:<math>\lambda=\frac 1{n\sigma}</math>
Se le dimensioni delle particelle del fascio non sono trascurabili alla area della sezione degli atomi va sostituita la [[sezione d'urto]], che ha sempre le dimensioni di una superficie e si indica con la stessa notazione.
La diminuzione di intensità del fascio dopo avere attraversato la lamina è eguale alla intensità iniziale per la probabilità di essere fermato:
:<math>dI = -I\frac {dx}{\lambda}</math>
In realtà questa è una [[equazione differenziale ordinaria]] a variabili separabili:
:<math>\frac{dI}{I} = -\frac {dx}{\lambda},</math>
che integrata sulla distanza <math>x </math> percorsa dal fascio a partire dal punto di impatto, ha come soluzione:
:<math>I(x) = I_{0} e^{-x/\lambda}</math>
avendo indicato <math>I(x)</math> e <math>I_0</math> rispettivamente l'intensità del fascio nel punto <math>x</math> e prima del punto di impatto.
la probabilità che una particella sia assorbita tra
<math>x</math> e <math>x+dx</math> data da:
:<math>dP(x) = \frac{I(x)-I(x+dx)}{I_0} = \frac{1}{\lambda} e^{-x/\lambda} dx</math>
La distanza [[Media_(statistica)|media]] percorsa da una particella del fascio è :
:<math>\langle x \rangle = \int_0^\infty x dP(x) = \int_0^\infty \frac{x}{\lambda} e^{-x/\lambda} \, dx = \lambda</math>
Quindi <math>\lambda</math> è chiamato cammino libero medio poiché è eguale alla distanza [[Media_(statistica)|media]]
percorsa dal fascio prima di essere fermato.
== Nella teoria cinetica dei gas ==
Consideriamo il modello di un [[gas ideale|gas]] con comportamento ideale, costituito da un unico insieme di particelle omogenee con distribuzione [[Distribuzione di Maxwell-Boltzmann|maxwelliana]] delle velocità con velocità media <math>v_m</math>.
In tal caso, invece di avere un bersaglio fisico, il fascio di particelle fa parte dell'equilibrio che si stabilisce tra particelle identiche, il quadrato della velocità relativa (considerando due molecole generiche che si scontrano) è pari a:
:<math>\overline{\mathbf{v}_{relativa}^2}=\overline{(\mathbf{v}_1-\mathbf{v}_2)^2}
=\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2-2\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}.</math>
In condizioni di equilibrio <math>\mathbf{v}_1</math> e <math>\mathbf{v}_2</math> sono casuali e senza correlazione
quindi si ha che <math>\overline{\mathbf{v}_1 \cdot \mathbf{v}_2}=0</math>, e quindi la velocità relativa è:
:<math>v_{rel}=\sqrt{\overline{\mathbf{v}_{relative}^2}}
=\sqrt{\overline{\mathbf{v}_1^2+\mathbf{v}_2^2}}
=\sqrt{2}v_m</math>
In poche parole, il numero di collisioni è <math>\sqrt{2}</math> maggiore del caso di un bersaglio fisso.
Quindi:
:<math>\lambda=\frac 1{\sqrt{2}n\sigma}</math>
La [[equazione di stato dei gas perfetti]] si può scrivere come:
:<math>PV=Nk_BT</math>
dove P è la pressione, k<sub>B</sub> è la [[costante di Boltzmann]], T la [[temperatura assoluta]], N è il numero di molecole. Quindi essendo <math>n=P/(k_BT)(</math> di conseguenza si ha che:
:<math>\lambda = \frac {k_B T}{\sqrt{2}\sigma P} </math>
Nel caso delle molecole di un gas perfetto si ha che <math>\sigma = \pi (2r)^2 = \pi d^2</math> è la effettiva sezione di particelle sferiche di diametro <math>d</math>
<ref>{{Cita web |titolo=Mean Free Path, Molecular Collisions |editore=Hyperphysics.phy-astr.gsu.edu |url=http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/kinetic/menfre.html }}</ref>, <ref name=IUPAC/>:
:<math>\lambda = \frac {k_B T}{\sqrt{2}\pi d^2 P} </math>
In pratica il diametro delle molecole non è ben definito. Poiché il cammino libero medio determina la viscosità dei gas in pratica dalla misura di viscosità si determina il cammino libero e da questo il diametro effettivo delle molecole <ref>{{cita libro|titolo=Introduction to physical gas dynamics|anno=1965|editore=Krieger Publishing Company|autore=Vincenti, W. G. and Kruger, C. H.|p=414}}</ref>
La tabella seguente fa un elenco dei valori tipici del cammino libero nell'aria a differenti pressioni a temperatura ambiente.
{| class="wikitable"
|-
! style="width:16%;"|Nome del vuoto
! style="width:16%;"|[[Pressione]] in [[Pascal (unità di misura)|hPa]] ([[Bar (unità di misura)|mbar]])
! style="width:16%;"|[[Pressione]] in mmHg ([[Torr]])
! style="width:16%;"|[[Densità di numero|Densità numerica]] ([[Molecole]] / cm<sup>3</sup>)
! style="width:16%;"|Densità numerica ([[Molecole]] / m<sup>3</sup>)
! style="width:16%;"|Cammino libero medio
|-
| Pressione atmosferica
| 1013
| 759.8
| 2.7 × 10<sup>19</sup>
| 2.7 × 10<sup>25</sup>
| 68 [[Nanometro|nm]]<ref>{{Cita pubblicazione|autore=S. Jennings|titolo=The mean free path in air|rivista=Journal of Aerosol Science|volume=19|p=159|anno=1988|doi=10.1016/0021-8502(88)90219-4}}</ref>
|-
| Basso [[vuoto]]
| 300 – 1
| 220 – 8×10<sup>−1</sup>
|10<sup>19</sup> – 10<sup>16</sup>
| 10<sup>25</sup> – 10<sup>22</sup>
| 0.1 – 100 [[Micrometro (unità di misura)|μm]]
|-
| Medio vuoto
| 1 – 10<sup>−3</sup>
| 8×10<sup>−1</sup> – 8×10<sup>−4</sup>
| 10<sup>16</sup> – 10<sup>13</sup>
| 10<sup>22</sup> – 10<sup>19</sup>
| 0.1 – 100 mm
|-
| Alto vuoto
| 10<sup>−3</sup> – 10<sup>−7</sup>
| 8×10<sup>−4</sup> – 8×10<sup>−8</sup>
| 10<sup>13</sup> – 10<sup>9</sup>
| 10<sup>19</sup> – 10<sup>15</sup>
| 10 cm – 1 km
|-
| Ultra alto vuoto
| 10<sup>−7</sup> – 10<sup>−12</sup>
| 8×10<sup>−8</sup> – 8×10<sup>−13</sup>
| 10<sup>9</sup> – 10<sup>4</sup>
| 10<sup>15</sup> – 10<sup>10</sup>
| 1 km – 10<sup>5</sup> km
|-
| Estremamente alto vuoto
| <10<sup>−12</sup>
| <8×10<sup>−13</sup>
| <10<sup>4</sup>
| <10<sup>10</sup>
| >10<sup>5</sup> km
|}
Per [[Miscela (chimica)|miscele]] di più gas è possibile calcolare il cammino libero medio di ogni singola [[molecola]] ([[atomo]] o [[ione]]) utilizzando opportunamente l'equazione generale di λ. L'equazione è anche applicabile al modello di [[Fluido ideale|liquido ideale]].
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