|
In [[calcolo variazionale]], la funzione '''lagrangiana''', dal matematico e fisico [[Joseph-Louis Lagrange]], è una [[funzione scalare]] che riassume sinteticamente la dinamica di un [[sistema dinamico|sistema]], espressa, quando questa può essere espressapossibile, dalle [[equazioni variazionali di Eulero|equazioni di Eulero]]. SiNella può[[meccanica ampliarelagrangiana]], il concettocontesto alnel secondoquale gradoè distata ottimizzazioneindividuata introducendooriginariamente, illa concettolagrangiana dicorrisponde (funzionea una [[grandezza fisica]] con le dimensioni di) ''penalizzazione''una [[energia]], oquindi ''Lagrangiananel aumentata'',[[Sistema cheInternazionale]] contienesi primopuò misurare in [[joule]] come l'[[energia cinetica]] e secondo[[energia ordinepotenziale|potenziale]].<ref>Quarteroni, Salerno,In Gervasio,molti Calcolosistemi scientificonewtoniani 5ªsi ed.,dimostra par.in 7.8:particolare Ottimizzazioneche vincolatala lagrangiana corrisponde semplicemente alla differenza fra l'energia cinetica e l'energia potenziale.</ref>
Per molti [[meccanica lagrangiana{{chiarire|sistemi meccanici]], il contesto nel quale è stata individuata originariamente, la lagrangiana corrisponde a una [[grandezza fisica]] con le dimensioni di una [[energia]], quindi nel [[Sistema Internazionale]] si può misurare in [[joule]] come l'[[energia cinetica]] e [[energia potenziale|potenziale]]. In molti sistemi newtoniani si dimostra in particolare che la lagrangiana corrisponde semplicemente alla "differenza" tra l'energia cinetica e l'energia potenziale. Il vantaggio di calcolare la lagrangiana al posto della forza, per esempio in una [[simulazione numerica]], è un notevole risparmio del [[costo computazionale]]. Per esempio, in meccanica, anziché risolvere le [[equazioni di Eulero|equazioni vettoriali di Newton]] basate sulla grandezza [[forza]], si deduce prima una lagrangiana scalare di cui poi si calcolano i gradienti, permettendo un notevole vantaggio rispetto alle [[analisi agli elementi finiti]] delle azioni dinamiche (forze e momenti delle forze).}}
UnIl [[principio di minima azione]] cerca di esprimereesprime la dinamica reale di un sistema fisico come quella tra tutte le dinamiche possibili che rende minima la grandezza l'[[Azione (fisica)|azione]]. {{chiarire|Un importante teorema del [[calcolo delle variazioni]]|quale?}} afferma che nei casi più semplici questa azione corrisponde all'integrale della lagrangiana nel tempo. L'invarianza della Lagrangiana rispetto a trasformazioni continue delle coordinate descrive in particolare le [[legge di conservazione|quantità conservate]] durante il moto, ovvero le [[costante del moto|costanti del moto]], in accordo con il [[teorema di Noether]].
Si può ampliare il concetto al secondo grado di ottimizzazione introducendo il concetto di (funzione di) ''penalizzazione'', o ''Lagrangiana aumentata'', che contiene primo e secondo ordine.<ref>Quarteroni, Salerno, Gervasio, Calcolo scientifico 5ª ed., par. 7.8: Ottimizzazione vincolata.</ref>
== Meccanica newtoniana ==
:<math> L_N= T - U</math>
In particolare, nei [[Legge di conservazione dell'energia|sistemi newtoniani ''conservativi'']], (dove cioè l'energia potenziale non dipende dal tempo) e l'energia totale si conserva, la lagrangiana è un [[invariante temporale]] (non dipende cioèesplicitamente dalla variabile tempo).
{{chiarire|Si può legare ad un'[[algebra di Lie]], come è entrato in uso negli [[Stati Uniti]] circa da vent'anni.<ref name="José" />}}
Infatti, considerandoConsiderando un semplice sistema costituito da solo punto materiale di massa <math>m</math>, la funzione lagrangiana ha l'espressione:
:<math> L = \frac{1}{2} m \dot \mathbf{x}^2 - U (\mathbf x)</math>
Si può dimostrare infatti che l'[[equazione del moto]] di un sistema Newtoniano può essere espressa come equazioni variazionali di Eulero o [[equazioni di Eulero-Lagrange]].
La Lagrangiana di un sistema può non essere unica. Infatti, due lagrangiane che descrivono lo stesso sistema possono differire per la [[derivata totale]] rispetto al tempo di una qualche funzione <math>f(\mathbf q,t)</math>, tuttavia la corrispondente equazione del moto sarà la stessa.<ref name="Goldstein">{{Cita libro|autore=Herbert Goldstein|nome2=Charles P.|cognome2=Poole|nome3=John L.|cognome3=Safko|titolo=Classical Mechanics|edizione=3|anno=2002|editore=[[Addison-Wesley]]|p=21|isbn=978-0-201-65702-9}}</ref><ref>{{Cita libro|autore=Lev D. Landau|autore2=Evgenij M. Lifšic|traduttore=J.B. Sykes e J.S. Bell|titolo=Mechanics|edizione=3|anno=1999|editore=Butterworth-Heinemann|città=Oxford|lingua=en|p=4|isbn=978-0-7506-2896-9}}</ref>
Talvolta, la lagrangiana viene espressa come dipendente anche dalle derivate delle coordinate successive alla prima,. edIn generale è definita in generale come una funzione <math> \mathcal L : TM \times \R \to \R</math> sul [[fibrato tangente]] <math>TM</math> addi una [[varietà differenziabile]], ovvero lachiamata ''varietà delle configurazioni'', in un suo punto.
== Equazioni variazionali di Eulero ==
| 