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Innalzamento e abbassamento degli indici: differenze tra le versioni

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In [[matematica]] e in [[fisica matematica]], l''''innalzamento e l'abbassamento degli indici''' sono operazioni che vengono fatte su [[Tensore|tensori]] per cambiarne il tipo.
{{C|argomento = fisica|motivo = piccole inesattezze, vedi discussione|mese = agosto 2010}}
{{S|fisica}}
 
== Tipo di un tensore ==
In [[relatività]], l<nowiki>'</nowiki>'''operazione di innalzamento e abbassamento degli indici''' è un'operazione che può essere eseguita su un [[tensore]]. Dato un tensore su una [[varietà (geometria)|varietà]] <math>M</math>, sul quale è definita una [[tensore metrico|metrica]] non singolare è possibile innalzare o abbassare gli indici di un tensore <math>T</math> di tipo <math>(k, l)</math>, definito da:
Dato un campo tensoriale su una [[Varietà (geometria)|varietà]] M, in presenza di una forma non-singolare su M (come una [[Varietà riemanniana|metrica riemanniana]] o una [[Spaziotempo di Minkowski|metrica di Minkowski]]), si può innalzare o abbassare gli indici per trasformare un tensore di tipo (a, b) a un tensore di tipo (a + 1, b − 1) (indici alzati) o in un tensore (a − 1, b + 1) (indici abbassati), dove la notazione (a, b) è stata usata per denotare l'[[Tensore|ordine]] a + b con a indici superiori e b indici inferiori.
:<math>\left\{\begin{array}{l}
\displaystyle T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_k\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_l\to K \\\\
\displaystyle T_{a_1 a_2 \dots a_k}^{b_1 b_2 \dots b_l}(\omega^{(1)}, \omega^{(2)}, \dots, \omega^{(k)}, X_{(1)}, X_{(2)}, \dots, X_{(l)}) = k
\end{array}\right.</math>
ovvero un'applicazione multilineare su <math>k</math> elementi dello [[spazio cotangente]] e su <math>l</math> elementi dello [[spazio tangente]] in un punto <math>P</math> della varietà <math>M</math> in un [[campo (matematica)|campo]] <math>K</math>.
Si può indicare il [[prodotto cartesiano]]
:<math>\displaystyle T:\underbrace{V^*\times\ldots\times V^*}_k\times\underbrace{V\times\ldots\times V}_l : \Pi^l_k </math>
L'operazione di innalzamento degli indici permette di passare da tensori di tipo <math>(k, l)</math> a tensori di tipo <math>(k+1, l-1)</math>, mentre l'operazione di abbassamento degli indici permette di passare da tensori di tipo <math>(k, l)</math> a tensori di tipo <math>(k-1, l+1)</math>.
 
L'innalzamentoSi efa l'abbassamentoquesto deglimoltiplicando indici si ottengono moltiplicandoper il [[tensore metrico]] nella sua forma [[Covarianza e controvarianza|covariante]] o [[controvarianticontrovariante]] e poi [[contrazioneContrazione di un tensore|contraendo]] gli indici ripetuti, (ovvero ponendo due indici uguali e poi sommando sugli indici ripetuti, comeapplicando previsto dallala [[convenzionenotazione di Einstein]]). Vedere gli esempi sotto.
 
== Vettori (tensori di ordine 1) ==
Più precisamente, questa costruzione sulle componenti del tensore sfrutta la presenza della metrica grazie al cosiddetto [[Isomorfismo musicale]], che permette di identificare in modo naturale spazio tangente e cotangente senza ricorrere ad una scelta della base.
Moltiplicare un tensore per il tensore metrico ''controvariante'' <math>g^{ij}</math> e contrarlo produce un altro tensore con un indice superiore:
 
:<math>g^{ij}A_j=B^i\,,</math>
Formalmente, dato un tensore <math>T</math> di tipo <math>(k, l)</math>, possiamo costruire un tensore <math>P</math> di tipo <math>(k + 1, l - 1)</math> in questo modo:
 
Spesso il tensore risultante viene denotato con la stessa lettera del tensore iniziale, ma con l'indice ''innalzato'', quindi si scrive
<math>P(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du, v_{1}, v_{2}, \dots , v_{l-1}) = T(dw^{1}, dw^{2}, \dots , dw^{k}, du^{\sharp}, v_{1}, v_{2}, \dots, v_{l-1})</math>
 
:<math>g^{ij}A_j=A^i\,.</math>
Dove <math>du^{\sharp}</math> è l'applicazione dell'operatore <math>\sharp</math> al covettore du.
Per vedere come questa costruzione sia equivalente alla moltiplicazione per le componenti del tensore metrico (o del suo inverso), notiamo innanzitutto che il diesis di un covettore base <math>dx^{k}</math> è dato da <math>g^{kj} \partial _{j}</math>, dove <math> \partial _{j}</math> è un elemento della base dello spazio tangente.
Dalla linearità dei tensori, segue immediatamente che <math> P_{b_1 \dots b_{l-1}}^{a_1 \dots a_{k+1}} = g^{a_{k+1} b_l } T_{b_1 \dots b_{l}}^{a_1 \dots a_{k}} </math>
 
Similmente, moltiplicare per il tensore metrico ''covariante'' e contrarre ''abbassa'' un indice:
Per quanto riguarda l'abbassamento di un indice, la procedura è analoga sostituendo allo diesis di un covettore il bemolle di un vettore.
 
:<math>g_{ij}A^j=A_i\,.</math>
Un esempio è dato dalla definizione del [[Tensore di Riemann]] in forma completamente covariante.
Ricordiamo che il tensore di Riemann in un punto p di una [[Varietà Riemanniana]] è un operatore lineare <math> R : T_p M \times T_p M \times T_p M \to T_p M </math>.
Per dualità, otteniamo un operatore <math> \bar{R} : T_{p}^{*} M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to \mathbb{R} </math> per il quale vale <math> \bar{R}_{i j k}^{l} = R_{i j k}^{l} </math>.
 
La forma <math>g_{ij}</math> non ha bisogno di essere non-singolare per abbassare un indice, ma per ottenere l'inverso (e quindi alzare un indice) deve essere non-singolare.
In questo caso, dobbiamo abbassare l'indice <math> l </math>, perciò procediamo definendo un nuovo operatore <math> \hat{R} : T_p M \times T_p M \times T_p M \times T_p M \to { \mathbb{R} }</math> in questo modo:
 
Innalzare e poi abbassare lo stesso indice (o il viceversa) sono operazioni inverse, il che si riflette nel fatto che i tensori metrici covarianti e controvarianti sono uno l'inverso dell'altro:
<math> \hat{R} (u, v, w, z) = \bar{R} (u^{ \flat }, v, w, z) </math>
 
:<math>g^{ij}g_{jk}=g_{kj}g^{ji}={\delta^i}_k={\delta_k}^i</math>
Per calcolare le componenti, notiamo che il bemolle di un vettore base <math> \partial _{l} </math> è dato da <math> g_{l n} dx^{n} </math>.
Sostituendo nelle componenti:
 
dove <math>\delta_k^j</math> è la [[delta di Kronecker]] o la [[matrice identità]]. Siccome ci sono diverse scelte di metriche con diverse [[Segnatura (algebra lineare)|segnature]] (segni degli elementi diagonali, cioè i componenti dei tensori con gli indici uguali), il nome e la segnatura è solitamente indicato per evitare confusione. Diversi autori usano metriche e segnature diverse per ragioni diverse.
<math> \hat{R}_{ l i j k } = \hat{R} ( \partial _{l}, \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = \bar{R} ( g_{l n} dx^{n} , \partial _{i}, \partial _{j}, \partial _{k} ) = g_{l n} \bar{R}_{ i j k } ^ {n} = g_{l n} R_{i j k} ^ {n} </math> che è la trasformazione classica del tensore di Riemann in forma completamente covariante.
 
Come regola mnemonica (sebbene ''scorretta''), si potrebbe pensare di "cancellare" gli indici tra la metrica e il tensore, con la metrica che alza o abbassa l'indice. Nell'esempio di cui sopra, questa "regola" sarebbe:
 
:<math>g^{ij}A_j = \cancel{g}^{i \cancel{j}}A_\cancel{j} = A^i\,,</math>
 
Questa ''non'' è però una proprietà dei tensori dal momento che gli indici non si elidono come nelle equazioni.
 
Quando si alzano gli indici di quantità spaziotemporali, è utile scomporre nelle componenti "di tipo tempo" (con indice zero) e nelle componenti "di tipo spazio" (con indici 1, 2, 3, rappresentati per convenzione con lettere latine).
 
=== Un esempio dallo spaziotempo di Minkowski ===
La [[Quadrivettore|quadriposizione]] covariante è data da
 
:<math>X_\mu = (-ct, x, y, z)</math>
 
con componenti:
 
:<math>X_0 = -ct, \quad X_1 = x, \quad X_2 = y, \quad X_3 = z</math>
 
(dove ''x,y,z'' sono le solite [[Sistema di riferimento cartesiano|coordinate cartesiane]]) e la [[Spaziotempo di Minkowski|metrica di Minkowski]] con segnatura (− + + +) è definita come
 
:<math> \eta_{\mu \nu} = \eta^{\mu \nu} = \begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1
\end{pmatrix} </math>
 
in componenti:
 
:<math>\eta_{00} = -1, \quad \eta_{i0} = \eta_{0i} = 0,\quad \eta_{ij} = \delta_{ij}\,(i,j \neq 0).</math>
 
Per alzare l'indice, si moltiplica per la metrica e si contrae:
 
:<math>X^\lambda = \eta^{\lambda\mu}X_\mu = \eta^{\lambda 0}X_0 + \eta^{\lambda i}X_i</math>
 
quindi per <math>\lambda=0</math>:
 
:<math>X^0 = \eta^{00}X_0 + \eta^{0i}X_i = -X_0</math>
 
e per <math>\lambda=j=1, 2, 3</math>:
 
:<math>X^j = \eta^{j0}X_0 + \eta^{ji}X_i = \delta^{ji}X_i = X_j \,.</math>
 
Quindi la quadriposizione controvariante (con indice alzato) è:
 
:<math>X^\mu = (ct, x, y, z)\,.</math>
 
== Tensori (ordini superiori) ==
 
=== Ordine 2 ===
Per un tensore di ordine 2,<ref name="Schaum’s Outlines">{{Cita libro|autore=Kay|nome=D. C.|titolo=Tensor Calculus|collana=Schaum’s Outlines|anno=1988|editore=McGraw Hill|città=New York|ISBN=0-07-033484-6}}</ref> si alza ciascun indice moltiplicando due volte per il tensore metrico controvariante e contraendo negli indici diversi:
 
:<math>A^{\alpha\beta}=g^{\alpha\gamma}g^{\beta\delta}A_{\gamma \delta}</math>
 
mentre per abbassare ciascun indice il tensore metrico in gioco è il covariante:
 
:<math>A_{\alpha\beta}=g_{\alpha\gamma}g_{\beta\delta}A^{\gamma \delta}</math>
 
==== Un esempio dall'elettromagnetico classico in relatività ristretta ====
Il [[tensore elettromagnetico]] [[Covarianza e controvarianza|controvariante]] nella segnatura (+ − − −) è dato da<ref>NB: Alcuni libri, come: {{cite book|author=David J. Griffiths|title=Introduction to Elementary Particles|publisher=John Wiley & Sons, Inc|year=1987|isbn=0-471-60386-4}}, definiscono questo tensore con un fattore −1. Questo perché hanno usato il negativo del tensore metrico usato qui: (− + + +). In testi più vecchi come il Jackson (2<sup>a</sup> edizione), non ci sono fattori di ''c'' siccome vengono usate le [[unità gaussiane]]. In questa voce si usano le unità del [[Sistema internazionale di unità di misura|SI]].</ref>
 
:<math>F^{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
0 & -\frac{E_x}{c} & -\frac{E_y}{c} & -\frac{E_z}{c} \\
\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\
\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}</math>
 
in componenti:
 
:<math>F^{0i} = -F^{i0} = - \frac{E^i}{c} ,\quad F^{ij} = - \varepsilon^{ijk} B_k </math>
 
Per ottenere il tensore [[Covarianza e controvarianza|covariante]] <math>F_{\alpha\beta}</math>, si moltiplica per il tensore metrico e si contrae:
 
:<math>\begin{align}
F_{\alpha\beta} & = \eta_{\alpha\gamma} \eta_{\beta\delta} F^{\gamma\delta} \\
& = \eta_{\alpha 0} \eta_{\beta 0} F^{0 0} + \eta_{\alpha i} \eta_{\beta 0} F^{i 0}
+ \eta_{\alpha 0} \eta_{\beta i} F^{0 i} + \eta_{\alpha i} \eta_{\beta j} F^{i j}
\end{align}</math>
 
e siccome <math>F^{00} = 0</math> e <math>F^{0i} = - F^{i0}</math>, questo si riduce a
 
:<math>F_{\alpha\beta} = \left(\eta_{\alpha i} \eta_{\beta 0} - \eta_{\alpha 0} \eta_{\beta i} \right) F^{i 0} + \eta_{\alpha i} \eta_{\beta j} F^{i j}</math>
 
Ora, per α = 0, β = k = 1, 2, 3:
 
:<math>\begin{align}
F_{0k} & = \left(\eta_{0i} \eta_{k0} - \eta_{00} \eta_{ki} \right) F^{i0} + \eta_{0i} \eta_{kj} F^{ij} \\
& = \bigl(0 - (-\delta_{ki}) \bigr) F^{i0} + 0 \\
& = F^{k0} = - F^{0k} \\
\end{align}</math>
 
e per antisimmetria, per <math>\alpha=k=1,2,3;\, \beta=0</math>:
 
:<math>F_{k0} = - F^{k0}</math>
 
quindi infine per <math>\alpha=k=1,2,3;\, \beta=l = 1, 2, 3</math>
 
:<math>\begin{align}
F_{kl} & = \left(\eta_{ k i} \eta_{ l 0} - \eta_{ k 0} \eta_{ l i} \right) F^{i 0} + \eta_{ k i} \eta_{ l j} F^{i j} \\
& = 0 + \delta_{ k i} \delta_{ l j} F^{i j} \\
& = F^{k l} \\
\end{align}</math>
 
Il tensore con indici bassi (covariante) è pertanto:
 
:<math>F_{\alpha\beta} = \begin{pmatrix}
0 & \frac{E_x}{c} & \frac{E_y}{c} & \frac{E_z}{c} \\
-\frac{E_x}{c} & 0 & -B_z & B_y \\
-\frac{E_y}{c} & B_z & 0 & -B_x \\
-\frac{E_z}{c} & -B_y & B_x & 0
\end{pmatrix}</math>
 
=== Ordine ''n'' ===
Quando uno spazio vettoriale è munito di un prodotto scalare (o metrica, come è spesso detta in questo contesto), esistono operazioni che convertono un indice controvariante (superiore) in un indice covariante (inferiore) e viceversa. Una metrica è uno (0,2)-tensore (simmetrico), è quindi possibile contrarre un indice superiore di un tensore con uno degli indici bassi della metrica. Questo produce un nuovo tensore con la stessa struttura del precedente, ma con un indice basso al posto dell'indice alto contratto. Questa operazione è nota come abbassamento di un indice. Al contrario, una metrica ha come inversa un (2,0)-tensore. Questa metrica inversa può essere contratta con un indice basso per produrre un indice alto. Questa operazione è detta innalzamento di un indice.
 
Per un tensore di ordine ''n'', gli indici sono alzati da:<ref name="Schaum’s Outlines">{{Cita libro|autore=Kay|nome=D. C.|titolo=Tensor Calculus|collana=Schaum’s Outlines|anno=1988|editore=McGraw Hill|città=New York|ISBN=0-07-033484-6}}</ref>
 
:<math>g^{j_1i_1}g^{j_2i_2}\cdots g^{j_ni_n}A_{i_1i_2\cdots i_n} = A^{j_1j_2\cdots j_n}</math>
 
e abbassati da:
 
:<math>g_{j_1i_1}g_{j_2i_2}\cdots g_{j_ni_n}A^{i_1i_2\cdots i_n} = A_{j_1j_2\cdots j_n}</math>
 
e per un tensore misto:
 
:<math>g_{p_1i_1}g_{p_2i_2}\cdots g_{p_ni_n}g^{q_1j_1}g^{q_2j_2}\cdots g^{q_mj_m}{A^{i_1i_2\cdots i_n}}_{j_1j_2\cdots j_m} = {A_{p_1p_2\cdots p_n}}^{q_1q_2\cdots q_m}</math>
 
== Voci correlate ==
 
* [[Notazione di Einstein]]
* [[Tensore metrico]]
* [[Isomorfismo musicale]]
 
== Note ==
[[Categoria:Tensori|Innalzamento e abbassamento degli indici]]
<references/>{{Portale|fisica|matematica}}
[[Categoria:Tensori]]
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Innalzamento_e_abbassamento_degli_indici"