Bottiglia di Klein: differenze tra le versioni
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:<math>\begin{cases}x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u \\
y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u \\
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v
\quad \quad (u,v) \in [0,2\pi)\times[0,2\pi)\quad r>1,25</math>
In questa immersione, la circonferenza di auto-intersezione (ottenuta per <math>\sin v =0</math>) è una [[circonferenza
▲In questa immersione, la circonferenza di auto-intersezione (ottenuta per <math>\sin v =0</math>) è una [[circonferenza ]] di raggio <math>r</math> nel piano <math>xy</math>. Il parametro <math>u</math> esprime l'angolo nel piano <math>xy</math>, e <math>v</math> specifica la posizione sulla sezione a forma di 8.
[[File:Acme klein bottle.jpg|thumb|Bottiglia di Klein in vetro]]
== Costruzione geometrica ==
Si consideri la "figura 8" avente parametrizzazione <math>(\sin(v),0,\sin(2v))</math> con <math>v \in [0,2\pi)</math>.
Ruotiamo tale curva in senso orario attorno all'asse delle <math>y</math>:
<math>\begin{pmatrix} \cos\frac{u}{2} & 0 & -\sin\frac{u}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\frac{u}{2} & 0 & \cos\frac{u}{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \sin v \\ 0 \\ \sin 2v \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}
\quad u \in [0,2\pi)</math>
Trasliamo lungo l'asse <math>x</math>:
<math>\begin{pmatrix} \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}
\quad r>1,25</math>
Eseguiamo una rotazione antioraria attorno all'asse <math>z</math> con velocità angolare doppia rispetto alla precedente:
<math>\begin{pmatrix} \cos u & -\sin u & 0\\ \sin u & \cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} (r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v) \cos u \\(r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v) \sin u \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}
</math>
==Voci correlate==
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