Bottiglia di Klein: differenze tra le versioni
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Come molti altri spazi topologici, la bottiglia di Klein <math>K</math> non è visualizzabile completamente come un sottoinsieme dello spazio tridimensionale: la descrizione data fornisce una [[immersione (matematica)|immersione]] nello spazio, cioè una [[funzione continua]]
:<math>f
a valori nello [[spazio euclideo]] <math>\R^3</math>,
che è localmente [[funzione iniettiva|iniettiva]], ma non globalmente: due circonferenze distinte presenti in <math>K</math> andranno infatti a sovrapporsi nell'[[immagine (matematica)|immagine]].
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[[File:KleinBottle-02.png|thumb|Dividendo la bottiglia di Klein si ottiene un nastro di Möbius.]]
[[File:KleinBottle-Figure8-01.png|thumb|L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein.]]
Come il [[nastro di Möbius]], la bottiglia di Klein è una [[varietà differenziabile]] bidimensionale [[orientabilità|non orientabile]]. Diversamente dal nastro di Möbius, la bottiglia di Klein è una [[varietà chiusa]], vale a dire che è una varietà [[spazio compatto|compatta]] senza bordo. Mentre il nastro di Möbius può essere rappresentato all'interno dello [[spazio euclideo]] tridimensionale
La bottiglia di Klein può essere costruita (in senso matematico) "incollando" i margini di due nastri di Möbius. Se una bottiglia di Klein è divisa in due lungo il suo [[piano di simmetria]], il risultato è un [[nastro di Möbius]], raffigurato a destra.
La bottiglia di Klein ha caratteristica di Eulero uguale a 0.
La bottiglia di Klein è l'unica eccezione alla [[congettura di Heawood]], una generalizzazione del [[teorema dei quattro colori]]. In particolare, sono sufficienti sei colori (e non quattro) per colorare una qualunque bottiglia di Klein, facendo in modo che a superfici adiacenti non venga assegnato lo stesso colore.
==Parametrizzazione==
L'immersione a "figura 8" della bottiglia di Klein ha una parametrizzazione abbastanza semplice:
:<math>\begin{cases}
x = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \cos u \\ y = \left(r + \cos\frac{u}{2}\sin v - \sin\frac{u}{2}\sin 2v\right) \sin u \\
z = \sin\frac{u}{2}\sin v + \cos\frac{u}{2}\sin 2v,
\end{cases} \quad \quad (u,v) \in [0,2\pi)\times[0,2\pi),\quad r>1,25.</math>
In questa immersione, la circonferenza di auto-intersezione (ottenuta per <math>\sin v =0</math>) è una [[circonferenza]] di raggio <math>r</math> nel piano <math>xy</math>. Il parametro <math>u</math> esprime l'angolo nel piano <math>xy</math>, e <math>v</math> specifica la posizione sulla sezione a forma di 8.
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== Costruzione geometrica ==
Si consideri la "figura 8" avente parametrizzazione <math>(\sin
Ruotiamo tale curva in senso orario attorno all'asse delle <math>y</math>:
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<math>\begin{pmatrix} \cos\frac{u}{2} & 0 & -\sin\frac{u}{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ \sin\frac{u}{2} & 0 & \cos\frac{u}{2} \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} \sin v \\ 0 \\ \sin 2v \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix},
\quad u \in [0,2\pi).</math>
Trasliamo lungo l'asse <math>x</math>:
<math>\begin{pmatrix} \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}
+ \begin{pmatrix} r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2}
\quad r>1,25.</math>▼
▲\quad r>1,25</math>
Eseguiamo una rotazione antioraria attorno all'asse <math>z</math> con velocità angolare doppia rispetto alla precedente:
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<math>\begin{pmatrix} \cos u & -\sin u & 0\\ \sin u & \cos u & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v \\ 0 \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix} (r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v) \cos u \\(r + \sin v\cos\frac{u}{2}-\sin\frac{u}{2} \sin 2v) \sin u \\ \sin\frac{u}{2} \sin v+\cos\frac{u}{2}\sin 2v \end{pmatrix}.
</math>
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