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Dimostrazione matematica: differenze tra le versioni

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Una '''dimostrazione matematica''' è un processo di [[deduzione]] che, partendo da premesse assunte come valide (''ipotesi'') o da [[proposizioneProposizione (logica)|proposizioni]] dimostrate in virtù di queste premesse, determina la necessaria validità di una nuova proposizione in virtù della (sola) correttezza formale del [[ragionamento]].
 
== Descrizione ==
 
Il termine "dimostrare" deriva dal latino ''demonstrare'', composto dalla radice ''de-'' (di valore intensivo) e da ''monstrare'' ("mostrare", "far vedere"), da cui il significato di ''mostrare a tutti'' quella che viene considerata una verità. In [[matematica]], però, il concetto
viene appunto specializzato, e una dimostrazione ha una formulazione molto precisa: per dimostrare un'affermazione (la '''tesi'''), occorre partire da
una o più affermazioni considerate vere (le ''ipotesi''), usando un insieme ben definito di derivazioni [[logica formale|logiche formali]]. In pratica, la catena di passaggi formali viene spesso in larga parte sottintesa, in modo da ridurre l'estensione della dimostrazione scritta ed evitare di appesantirla con puntualizzazioni considerate evidenti e immediate<ref>Questo può valere specialmente nello svolgimento di operazioni algebriche. Ad esempio, nella risoluzione di un'[[equazione polinomiale]] di secondo grado, si usa omettere gli algoritmi adoperati per trovare le [[Radice (matematica)|radici]] del polinomio, così come la loro dimostrazione.</ref>; tuttavia, in linea teorica, questo processo deduttivo può sempre essere applicato nelle dimostrazioni di natura matematica.
 
La dimostrazione matematica è generalmente '''deduttiva'''; da ipotesi generali si giunge a una tesi particolare. Esiste anche la dimostrazione induttiva; a differenza dell'uso comune del termine, che fa giungere ad una verità generale partendo da elementi particolari, la dimostrazione
'''induttiva'''; a differenza dell'uso comune del termine, che fa giungere ad una verità generale partendo da elementi particolari, la dimostrazione
matematica induttiva deve essere presa come assioma, ad esempio nella formulazione di [[assiomi di Peano|Peano]].
 
Un'altra caratterizzazione delle dimostrazioni matematiche distingue una dimostrazione '''diretta''', nella quale viene effettivamente dimostrata la tesi, dalla dimostrazione indiretta nella quale la tesi si suppone vera e si deve giungere alla ipotesi tramite passaggi logici o per assurdo, nella quale si suppone che la tesi non sia vera e si giunge a una contraddizione. Questo secondo tipo di dimostrazione, che si appoggia al
tesi, dalla dimostrazione '''indiretta''' nella quale la tesi si suppone vera e si deve giungere alla ipotesi tramite passaggi logici o '''per assurdo''', nella quale si suppone che la tesi non sia vera e si giunge a una contraddizione. Questo secondo tipo di dimostrazione, che si appoggia al
[[principio del terzo escluso]] e sul quale si basano un gran numero di teoremi matematici<ref>Un esempio fra molti è costituito, in [[analisi matematica]], dalla dimostrazione dell'[[numero irrazionale#Irrazionalità della radice quadrata di 2|irrazionalità della radice quadrata di due]].</ref>, non è però considerato valido dalla scuola intuizionista fondata da [[Luitzen Brouwer|Brouwer]].
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Dimostrazione_matematica"