Costruzione dei numeri reali: differenze tra le versioni
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Un modo per costruire l'insieme <math>\R</math> simile a quello appena visto, ma più astratto, è quello di utilizzare le serie e gli insiemi di numeri naturali. Questo metodo prende spunto dall'[[argomento diagonale di Cantor]], utilizzato per dimostrare la non numerabilità dei numeri reali.
Consideriamo la rappresentazione binaria di un numero reale <math>x \geq 0</math>: essa è una stringa di 0 e 1, che inizia sempre con 1 se <math>x \geq 1</math> (dunque i numeri minori di 1 non hanno cifre nella parte intera), di cui la sottostringa prima della virgola ha lunghezza finita; sia dunque <math>n \in \N</math> il numero di cifre binarie di <math>x</math> che rappresentano la sua parte intera. Possiamo allora riscrivere <math>x</math> come segue: <math>x = 2^n \cdot d </math>, da cui si ricava <math>d = \frac{x}{2^n} </math>.
Dato che la rappresentazione binaria di <math>2^n </math> è lunga <math>n+1</math> cifre (1 seguito da <math>n</math> zeri), mentre quella di <math>x</math> ha solo <math>n</math> cifre nella parte intera, allora <math>0 \leq x \leq 2^n</math>, dunque, dividendo per <math>2^n </math>, si ottiene <math>0 \leq \frac{x}{2^n} \leq 1 </math>, e siccome <math>\frac{x}{2^n} = d </math>, abbiamo che <math>0 \leq d \leq 1 </math>.
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