Costruzione dei numeri reali

In matematica, i numeri reali vengono costruiti in vari modi equivalenti. Tra questi, i più noti usano le sezioni di Dedekind e le successioni di Cauchy. Ciascuna di queste costruzioni definisce i numeri reali come una estensione dell'insieme dei numeri razionali.

Costruzione intuitiva a partire dai numeri decimaliModifica

Un numero reale è una quantità che può essere rappresentata come

 

dove   è un numero intero e ogni   è una cifra tra 0 e 9 (le cifre   sono infinite). Questa definizione deve però tenere conto della doppia rappresentazione periodica dei decimali finiti: analogamente a quanto avviene per i numeri razionali, in cui due rappresentazioni come frazione danno talvolta lo stesso numero (ad esempio,   e  ), anche lo stesso numero reale può essere rappresentato in due modi diversi; questo accade quando la successione   finisce con una successione di 9 consecutivi. Ad esempio, i numeri

 

rappresentano lo stesso numero reale (vedi 0,999...). Si può ovviare a questo problema definendo come numero reale una quantità rappresentabile come   in cui la successione   non termina con una infinità di 9 consecutivi. In questo modo viene scartata a priori una delle due rappresentazioni equivalenti.

Questa costruzione si collega alle successive nel modo seguente: il numero   è il numero reale   che soddisfa questa doppia disequazione per ogni  :

 

La rappresentazione tramite decimali è certamente la più nota e maneggevole; i matematici preferiscono però usare costruzioni più astratte per i numeri reali, essenzialmente per questi motivi:

  • l'aggiramento del problema della doppia rappresentazione è macchinoso e poco elegante
  • non è possibile definire le operazioni elementari di somma e moltiplicazione fra numeri reali con operazioni "cifra per cifra" nel modo solito (dovremmo "partire da destra") ma solo con approssimazioni troncate, ritrovandosi su un terreno analogo a quello delle successioni di Cauchy e delle sezioni di Dedekind,
  • la rappresentazione è ancorata alla base scelta (nello specifico la base 10) e quindi non è "canonica".

Costruzione tramite le sezioni di DedekindModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Sezione di Dedekind.

CostruzioneModifica

Questa costruzione, introdotta da Richard Dedekind, nasce dall'osservazione che ogni numero razionale divide l'insieme   dei razionali in due insiemi: l'insieme   dei razionali tali che   e l'insieme   dei razionali tali che  . Dedekind chiama quindi la coppia   una sezione in due insiemi. D'altra parte, anche un numero reale come   definisce una sezione  , dove   è dato da tutti i razionali   tali che  , mentre   è dato da tutti i razionali   con  .

Dedekind definisce quindi un numero reale come una sezione dei numeri razionali. Nella definizione originaria, una sezione di Dedekind è una coppia   di sottoinsiemi non vuoti di   tali che

  •  
  •  
  •  

In questo modo però ogni numero razionale determina due sezioni:

  •   dove   è l'insieme dei razionali strettamente minori di   e   è l'insieme dei razionali maggiori o uguali a  ,
  •   dove   è l'insieme dei razionali minori o uguali a   e   è l'insieme dei razionali strettamente maggiori di  .

Per evitare l'ambiguità, si fa a meno del secondo insieme della coppia e si definisce la sezione come costituita da un solo sottoinsieme   di   tale che

  •   è non vuoto e differente da  
  • per ogni   in  , se   allora   appartiene a  .
  •   non ha massimo, cioè non esiste   in   tale che   per ogni altro   in  .

Con questa definizione l'ambiguità è eliminata: ogni numero razionale viene associato ad un'unica sezione. Si definisce quindi l'insieme   dei numeri reali come l'insieme delle sezioni. Ad esempio, il numero irrazionale   è definito dalla sezione

 .

Quale conseguenza della costruzione stessa è evidente che in   è presente una copia isomorfa di  : l'insieme  , dove indichiamo con   il segmento iniziale  .

ProprietàModifica

Relazione d'ordine e completezzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

L'insieme delle sezioni ha una relazione d'ordine data dall'inclusione che gli fornisce la struttura di insieme totalmente ordinato. È anche evidente che questo ordinamento è quello giusto: riproduce quello già esistente sui razionali aggiungendovi inoltre l'importante proprietà di completezza o continuità, espressa dall'assioma di Dedekind: ogni insieme non vuoto e limitato ha un estremo superiore. Questa proprietà è equivalente a richiedere che i reali siano uno spazio metrico completo con la distanza usualmente definita.

AddizioneModifica

L'addizione fra numeri reali è definita nel modo seguente. Dati due sezioni   e  , la somma   è la sezione

 

Una volta verificato che la definizione data produce una sezione, i numeri reali, con questa operazione, sono un gruppo commutativo, con elemento neutro  .

MoltiplicazioneModifica

La costruzione della moltiplicazione è leggermente più macchinosa per via dei segni. Si definisce su tutti i reali positivi nel modo seguente:

 

e si estende ai numeri negativi usando la regola del segno. Anche in questo caso è facile dimostrare che gli insiemi prodotti sono sezioni.

L'insieme   munito delle operazioni di somma e prodotto è un campo. Con l'ordinamento dato, questo è anche un campo archimedeo completo. Il sottoinsieme   è un sottocampo, naturalmente isomorfo a  .

Costruzione tramite successioni di CauchyModifica

Questa costruzione è più complessa, ma offre due vantaggi: la definizione delle operazioni di somma e prodotto è immediata, e la costruzione può essere generalizzata per fornire un procedimento generale per il completamento degli spazi metrici.

CostruzioneModifica

L'idea di Cantor è motivata dal fatto che ogni numero reale è ottenibile come limite di una successione di Cauchy di numeri razionali, ovvero di una successione   di razionali tale che:

 

Sia   l'insieme di tutte le successioni di Cauchy di numeri razionali. È evidente che (infinite) successioni distinte possono convergere allo stesso limite.

Si procede allora considerando equivalenti due successioni di Cauchy   e   che esibiscono la seguente proprietà:

 

Nel caso di successioni convergenti questo è equivalente a dire che "convergono allo stesso limite".

Che si tratti poi di una relazione di equivalenza è molto semplice da provare.

Si definisce allora l'insieme   dei numeri reali come l'insieme quoziente di   rispetto alla relazione di equivalenza così definita.

ProprietàModifica

Relazione d'ordine e completezzaModifica

 Lo stesso argomento in dettaglio: Assioma di Dedekind.

Due numeri reali   e   sono in relazione   se e solo se esistono due successioni di Cauchy   che li definiscono tali che   per ogni  . Con questa relazione d'ordine, i numeri reali sono un insieme totalmente ordinato.

Somma e prodottoModifica

Somma e prodotto vengono definiti termine a termine nelle successioni. Se   e   sono due successioni di Cauchy, si definisce cioè

 
 

Con queste due operazioni i numeri reali risultano essere un campo.

CompletezzaModifica

La completezza può essere inferita quale conseguenza dell'Assioma di Dedekind. Può anche essere dimostrata, partendo dalla definizione, mostrando che ogni successione di Cauchy di numeri reali è convergente. Questa dimostrazione si presta ad essere generalizzata agli spazi metrici qualsiasi.

Anche in questa costruzione è evidente in   la presenza di una copia isomorfa di  : l'insieme  , dove indichiamo con   il segmento iniziale  .

CompletamentoModifica

L'operazione appena descritta consiste nell'aggiungere ad uno spazio metrico   ulteriori punti, determinati da tutte le possibili successioni di Cauchy. Questa operazione può essere definita per ogni spazio metrico   ed è chiamata completamento. Il risultato è uno spazio completo   che contiene (una copia isomorfa di)  . In particolare, i numeri reali formano uno spazio completo (per i reali ciò è equivalente all'assioma di Dedekind).

Voci correlateModifica

  Portale Matematica: accedi alle voci di Wikipedia che trattano di matematica