Logaritmo: differenze tra le versioni
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Dalla formula del cambiamento di base, ponendo <math>k=x</math>, si ricava la relazione seguente:
:<math>\log_b x =\frac{1}{\log_x b}.</math>
== Computazione ==
Supponiamo di voler calcolare <math>c=\log_a b</math>, con <math>a \in (1; +\infty)</math> e <math>b \in [1; +\infty)</math>, rappresentato in una certa base <math>r \geq 2</math>.
=== Calcolo della parte intera ===
Per calcolare la parte intera del logaritmo si procede nel modo seguente:
# poni <math>q := b </math>, <math>c := 0 </math> e vai al punto 3;
# poni <math>q := \frac{q}{a} </math> e <math>c := c + 1 </math>;
# se <math>q \geq a </math>, vai al punto 2, altrimenti procedi con il calcolo della mantissa.
Al termine della procedura, <math>c</math> equivale alla parte intera di <math>\log_a b</math>.
=== Calcolo della mantissa ===
Per calcolare le prime <math>n</math> cifre della mantissa, rappresentata in una certa base <math>r</math>, si esegue la seguente iterazione per <math>i = 1, \dots, n </math>:
# poni <math>q := q^r </math>, <math>d := 0</math> e vai al punto 3;
# poni <math>q := \frac{q}{a} </math> e <math>d := d + 1 </math>;
# se <math>q \geq a </math>, vai al punto 2, altrimenti termina l'iterazione.
Al termine di ogni iterazione, <math>d</math> equivale all'<math>i</math>-esima cifra della mantissa.
=== Generalizzazione ===
L'algoritmo può essere generalizzato anche per valori di <math>a, b \in (0; 1)</math>, utilizzando le proprietà dei logaritmi. Abbiamo i seguenti tre casi:
* Se <math>a \in (0; 1)</math> e <math>b \in [1; +\infty)</math>, allora, cambiando la base con <math>\frac{1}{a}</math>, <math>\log_a b = \frac{\log_\frac{1}{a} b}{\log_\frac{1}{a} a} = \frac{\log_\frac{1}{a} b}{-1} = - \log_\frac{1}{a} b</math>; possiamo dunque calcolare <math>\log_\frac{1}{a} b</math>, dato che <math>a \in (0; 1) \implies \frac{1}{a} \in (1; +\infty) </math>.
* Se <math>a \in (1; +\infty)</math> e <math>b \in (0; 1)</math>, allora <math>\log_a b = \log_a b^{(-1) \cdot (-1)} = (-1) \cdot \log_a b^{-1} = -\log_a \frac{1}{b} </math>; possiamo dunque calcolare <math>\log_a \frac{1}{b} </math>.
* Se <math>a \in (0; 1)</math> e <math>b \in (0; 1)</math>, allora, combinando i precedenti risultati, <math>\log_a b = -\log_a \frac{1}{b} = - \left(- \log_\frac{1}{a} \frac{1}{b} \right) = \log_\frac{1}{a} \frac{1}{b} </math>.
== Basi del logaritmo ==
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