Flusso di Stokes: differenze tra le versioni
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== Equazioni di Stokes ==
L'equazione del moto per il flusso di Stokes può essere ottenuta linearizzando le [[equazioni di Navier-Stokes]] nel caso stazionario. Si assume che le forze inerziali siano trascurabili rispetto alle forze viscose, e eliminando i termini inerziali dal bilancio della quantità di moto nelle equazioni di Navier-Stokes, esse si riducono al bilancio della quantità di moto nelle equazioni di Stokes:<ref name="kim2005"
: <math>\boldsymbol{\nabla} \cdot \sigma + \mathbf{f} = \boldsymbol{0} </math>
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</math>
Questa rappresentazione integrale della velocità può essere vista come una riduzione della dimensionalità del problema: dall'equazione alle derivate parziali tridimensionali a un'equazione integrale bidimensionale per densità di forza generica.<ref name="kim2005"
==== Soluzione di Papkovich-Neuber ====
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\chi_n &= r^n \sum_{m=0}^{m=n} P_n^m(\cos\theta)(c_{mn}\cos m\phi +\tilde{c}_{mn} \sin m\phi) \end{align}</math>
e i <math>P_n^m</math> sono i [[Funzione associata di Legendre|polinomi di Legendre associati]] . La soluzione di Lamb può essere utilizzata per descrivere il moto di un fluido all'interno o all'esterno di una sfera. Ad esempio, può essere utilizzato per descrivere il moto del fluido attorno a una particella sferica con un flusso superficiale imposto, un cosiddetto squirmer, o per descrivere il flusso all'interno di una goccia sferica di fluido. Per i flussi interni, i termini con <math>n<0</math> vengono scartati, mentre per i flussi esterni i termini con <math>n>0</math> vengono eliminati (spesso si usa la convenzione <math>n\to -n-1</math>,in modo che i flussi esterni evitino l'indicizzazione per numeri negativi).<ref name="kim2005"
== Teoremi ==
=== Soluzione di Stokes e relativo teorema di Helmholtz ===
La resistenza al trascinamento di una sfera in movimento, nota anche come soluzione di Stokes, è qui riassunta. Data una sfera di raggio <math>a</math>, in moto a una velocità <math>U</math>, in un fluido di Stokes con viscosità dinamica <math>\mu</math>, la forza di trascinamento <math>F_D</math> è dato da:
: <math> F_D = 6 \pi \mu a U </math>
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: <math> \int_S \mathbf{u}\cdot (\boldsymbol{\sigma}' \cdot \mathbf{n}) dS = \int_S \mathbf{u}' \cdot (\boldsymbol{\sigma} \cdot \mathbf{n}) dS </math>
Dove <math>\mathbf{n} </math> è il versore normale alla superficie <math>S</math>. Il teorema reciproco di Lorentz può essere utilizzato per dimostrare che il flusso di Stokes "trasmette" invariati la forza e il momento torcente totali da una superficie chiusa interna a una superficie esterna che la racchiude.<ref name="kim2005"
=== Le leggi di Faxén ===
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dove <math>\mu</math> è la viscosità dinamica, <math>a</math> è il raggio delle particelle, <math>\mathbf{v}^{\infty}</math> è il flusso esterno, <math>\mathbf{U}</math> è la velocità della particella, <math>\mathbf{\Omega}^{\infty}</math> è la velocità angolare del flusso esterno e <math>\mathbf{\omega}</math> è la velocità angolare della particella.
Le leggi di Faxén possono essere generalizzate per descrivere i momenti per particelle di altre forme, come ellissoidi, sferoidi e gocce sferiche.<ref name="kim2005"
== Note ==
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