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Utente:Mat4free/Funzione abeliana: differenze tra le versioni

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Una ''funzione abeliana'' è una [[funzione meromorfa]] su una varietà abeliana, che può essere considerata come una funzione periodica di <math>n</math> variabili complesse, aventi <math>2n</math> periodi indipendenti. Equivalentemente, è una funzione nel campo di funzioni di una varietà abeliana. Ad esempio, nel diciannovesimo secolo c'era molto interesse per gli integrali iperellittici che possono essere espressi in termini di integrali ellittici. Ciò si riduce a chiedere che <math>J</math> sia o meno un prodotto di curve ellittiche, a meno di isogenia.
 
=== TeoremTeorema di Matsusaka ===
Un importante teorema di struttura delle varietà abeliane è ''il teorema di Matsusaka''. Esso afferma che su un [[campo algebricamente chiuso]] ogni varietà abeliana <math>A</math> è il quoziente dello jacobiano di una curva; ossia esiste un morfismo suriettivo di varietà abeliane <math>J \to A</math> con <math>J</math> uno jacobiano di qualche curva algebrica. Questo teorema rimane vero se il campo base è infinito.<ref> Milne, J.S., Jacobian varieties, in Arithmetic Geometry, eds Cornell and Silverman, Springer-Verlag, 1986</ref>
 
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Il gruppo dei punti <math>k</math>-razionali per un [[campo globale]] <math>k</math> è finitamente generato per il [[teorema di Mordell-Weil]]. Quindi, per il [[teorema fondamentale dei gruppi abeliani finitamente generati|teorema di struttura per gruppi abeliani finitamente generati]], è isomorfo al prodotto di un [[gruppo abeliano libero]] <math>\Z^r</math> con un [[Gruppo finito|gruppo commutativo finito]] per qualche intero non negativo <math>r</math> chiamato ''rango'' della varietà abeliana. Risultati simili valgono per altre classi di campi <math>k.</math>
 
== Prodotti di varietà abeliane ==
Il prodotto di una varietà abeliana <math>A</math> di dimensione <math>m</math> e di una varietà abeliana <math>B</math> di dimensione <math>n,</math> sullo stesso campo, è una varietà abeliana di dimensione <math>m+n.</math> Una varietà abeliana è ''semplice'' se non è isogena a un prodotto di varietà abeliane di dimensione inferiore. Ogni varietà abeliana è isogena a un prodotto di varietà abeliane semplici.
 
== Polarizzazione e doppia varietà abeliana??????? ==
 
=== Doppia varietàVarietà abeliana duale ===
AdA una varietà abeliana ''<math>A''</math> su un campo ''<math>k'',</math> si associa una '''duplice varietà abeliana''' ''Aduale'' <supmath>vA^\vee</supmath> (definita sullo stesso campo), che è la soluzione al seguente [[problema di moduli]]. Una famiglia di fasci[[Fibrato dilineare|fibrati lineelineari]] di grado 0 parametrizzati da una <math>k</math>-varietà ''k'' ''<math>T''</math> è definita come un fasciofibrato lineare ''<math>L''</math> su ''<math>A''\times × ''T''</math> tale che
 
# per ogni ''<math>t''</math> in ''<math>T'',</math> la restrizione dadi ''<math>L''</math> ad ''<math>A'' × \times\{ ''t'' \}</math> è un fasciofibrato lineare di grado 0;
# la restrizione di ''<math>L''</math> a <math>\{0\}\times × ''T''</math> è un banale fasciofibrato lineare banale (qui 0 è l'identitàelemento neutro di ''<math>A'' </math>).
 
Poi v'èEsiste una varietà ''A'' <supmath>vA^\vee</supmath> e una famiglia <math>P</math> di fascifibrati lineari ''P di grado 0, detto ''fibrato il fasciodi Poincaré'', parametrizzata da ''Un'' <supmath>vA^\vee</supmath> tale che unaa ogni famiglia ''<math>L''</math> su ''<math>T''</math> è associato un unico morfismo ''<math>f:''\colon ''T''\to → ''A'' <sup>v^\vee</supmath> modotale che ''<math>L''</math> è isomorfo al pullback di ''<math>P''</math> lungorispetto ilal morfismo 1 <sub>A</submath>\mathrm{id}_A\times × ''f''\colon : ''A''\times × ''T''\to → ''A''\times × ''A'' <sup>v^\vee.</supmath> . Applicando questo al caso in cui ''<math>T''</math> è un punto, vediamosi osserva che i punti di ''A'' <supmath>vA^\vee</supmath> corrispondono a fascifibrati lineari di grado 0 su ''<math>A'',.</math> quindiQuindi c'è un'operazione di gruppo naturale su ''A'' <supmath>vA^\vee,</supmath> data dal prodotto tensoriale di fascifibrati lineari, che la rende una varietà abeliana.
 
Questa associazione è una dualità nel senso che esiste un [[Trasformazione naturale|isomorfismo naturale]] tra il doppio duale ''A'' <supmath>vvA^{\vee\vee}</supmath> e ''<math>A''</math> (definito tramite il fasciofibrato di Poincaré) e che è [[Funtore (matematica)|funtoriale in modo controvariante]],. cioèCioè si associa a tuttiogni imorfismo morfismi ''<math>f''\colon : ''A''\to → ''B'' doppi morfismi ''f'' <sup>v</supmath> :un ''B''morfiso duale <sup>v</supmath>f^\vee\colon →B^\vee\to ''A'' <sup>v^\vee</supmath> in modo compatibile. La ''<math>n</math>-'' torsione di una varietà abeliana e la ''<math>n</math>-'' torsione del suo duale sono duali l'una all'altra quandose ''<math>n''</math> è coprimo allacon la caratteristica delladel campo base. In generale, per tuttiogni gli ''<math>n'',</math> glilo schemi ''del[[schema gruppo]] <math>n''</math>-torsione di una varietà abeliana e lo schema gruppo <math>n</math>-torsiontorsione della dellecorrispondente varietà abelianeabeliana dualiduale sono [[Duale di Cartier|duali di Cartier]] l' uno dell'altro. Questo generalizza l' [[accoppiamento di Weil]] per le curve ellittiche.
 
=== Polarizzazioni?????? ===
Una '''polarizzazione''' di una varietà abeliana è ''un'isogenesi'' da una varietà abeliana al suo duale che è simmetrica rispetto alla ''doppia dualità'' per le varietà abeliane e per la quale il pullback del fascio di Poincaré lungo il morfismo del grafo associato è ampio (quindi è analogo a una forma quadratica definita positiva). Le varietà abeliane polarizzate hanno gruppi di automorfismi finiti. Una '''polarizzazione principale''' è una polarizzazione che è un isomorfismo. Gli Jacobiani delle curve sono naturalmente dotati di una polarizzazione principale non appena si sceglie un punto base razionale arbitrario sulla curva, e la curva può essere ricostruita dal suo Jacobiano polarizzato quando il genere è> 1. Non tutte le varietà abeliane principalmente polarizzate sono giacobiane di curve; vedi il problema Schottky . Una polarizzazione induce un'involuzione di Rosati sull'anello dell'endomorfismo <math>\mathrm{End}(A)\otimes\mathbb{Q}</math> di ''A.''
 
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