Leggi di Keplero: differenze tra le versioni
Contenuto cancellato Contenuto aggiunto
Etichetta: Annullato |
Annullata la modifica 119462165 di 79.44.196.220 (discussione) Etichetta: Annulla |
||
Riga 56:
La seconda legge di Keplero non è altro che la conservazione del [[momento angolare]] orbitale, da cui discende la costanza della [[velocità areolare]].
Dimostriamo entrambe le proprietà.
* Il [[momento angolare]] orbitale del pianeta si conserva.
La costanza del momento angolare, deriva, a sua volta, dal fatto che la forza è [[Forza centrale|centrale]].
{{Approfondimento
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = Dire che la forza <math>\overrightarrow{F}</math> agente sul pianeta è centrale, significa dire che, qualunque sia la posizione del pianeta, essa è parallela al raggio vettore <math>\overrightarrow{r}</math>.
Si ha inoltre, dal [[Principi della dinamica#Secondo principio|secondo principio della dinamica]]:
:<math>\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}</math>
dove m ed <math>\overrightarrow{a}</math> sono rispettivamente la massa del pianeta e la sua accelerazione;
si ha anche, per definizione di [[momento angolare]] orbitale <math>\overrightarrow{L}</math> :
:<math>\overrightarrow{L} = m \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{v}</math>
dove il simbolo <math>\times</math> denota il [[prodotto vettoriale]] e <math>\overrightarrow{v}</math> è la velocità del pianeta.
A questo punto, osserviamo che:
:<math>\frac{\operatorname d \overrightarrow{L}}{\operatorname d t} =
m \left(\frac{\operatorname d \overrightarrow{r}}{\operatorname d t} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{r} \times \frac{\operatorname d \overrightarrow{v}}{\operatorname d t} \right) = m \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} + m \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{a} = </math>
:<math>= m \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{r} \times (m \overrightarrow{a})
= m \overrightarrow{v} \times \overrightarrow{v} + \overrightarrow{r} \times \overrightarrow{F}</math>
ma entrambi i prodotti vettoriali sono nulli perché coinvolgono vettori paralleli, pertanto:
:<math>\frac{\operatorname d \overrightarrow{L}}{\operatorname d t} = 0 </math>
ossia
:<math>\overrightarrow{L} = \text{costante} </math>
}}
* La [[velocità areolare]] è costante.
{{Approfondimento
|larghezza = 100%
|titolo = Dimostrazione
|contenuto = [[File:Keplero velocità areolare.jpg|thumb|]] Infatti, nella figura qui a fianco ''OA'' rappresenta il raggio vettore e ''AB'' la [[traiettoria]] del pianeta nel tempo Δ t. Se Δ t è sufficientemente piccolo, ''AB'' può essere approssimato da un segmento di retta. Sia inoltre θ l'angolo tra il raggio vettore e AB. Nel tempo Δ t viene quindi descritta un'area
:<math>\Delta S = \frac {1}{2}{OA} \cdot {AB}\cdot \sin(\theta)</math>
La velocità areolare è quindi
:<math>v_A = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {\Delta S} {\Delta t} = \frac{1}{2}v r \sin(\theta)</math>
essendo
:<math>v = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac {AB} {\Delta t} </math>
la [[velocità orbitale]] istantanea. Poiché <math>mvr \sin(\theta)</math> è il modulo del momento angolare, risulta <math>v_A = \frac {L}{2m}</math>. Pertanto, se ''L'' è costante, anche <math>v_A</math> lo è.
}}
[[File:Keplero legge delle aree.svg|thumb|upright=1.7|Illustrazione della legge delle aree]]
La seconda legge di Keplero risulta quindi generalizzabile a un qualsiasi [[moto centrale]], legando l'accelerazione tangenziale alla [[velocità areolare#Moto centrale|velocità areolare]].
* La velocità orbitale non è costante, ma varia lungo l'orbita. Le due aree evidenziate nella figura qui a fianco sono infatti uguali e vengono quindi percorse nello stesso tempo. In prossimità del perielio, dove il raggio vettore è più corto che nell'afelio, l'arco di ellisse è corrispondentemente più lungo. Ne segue quindi che la velocità orbitale è massima al [[perielio]] e minima all'[[afelio]].
[[File:kepler-second-law.gif|thumb|upright=1.7|Animazione della seconda legge.]]
* La componente della velocità ortogonale al raggio vettore per una determinata orbita è ''inversamente proporzionale'' al modulo del raggio vettore. Questa è una conseguenza della conservazione del momento angolare. Infatti, indicato con <math>\theta</math> l'angolo tra il raggio vettore e la tangente all'orbita, ossia tra il raggio vettore e il vettore velocità, il modulo del momento angolare <math>L = mvr \sin(\theta)</math> è costante, ma <math>v \sin(\theta)</math> rappresenta la componente <math>v_{\perp}</math> della velocità ortogonale al raggio vettore; pertanto, il prodotto <math>m v_{\perp} r</math> è costante e, dato che anche la massa m è costante, è evidente che <math>v_{\perp}</math> è inversamente proporzionale al modulo r del raggio vettore.
'''Importante''': In generale, la componente <math>v_{\perp}</math> della velocità ortogonale al raggio vettore non coincide con la componente <math>v_t</math> della velocità tangenziale all'orbita. Invece, ciò è sicuramente vero quando l'orbita è circolare.
* Sul pianeta viene esercitata una [[forza centrale]], cioè diretta secondo la congiungente tra il pianeta e il Sole. La seconda legge della [[dinamica (fisica)|dinamica]] per i sistemi in rotazione è
::<math>\frac {\operatorname d \overrightarrow{L}}{\operatorname d t} = \overrightarrow{M}</math>
:dove <math>\overrightarrow{M}</math> è il [[momento meccanico]] applicato. Poiché <math>\overrightarrow{L}</math> si conserva, la sua variazione è nulla e quindi anche <math>\overrightarrow{M}</math> è nullo. Questo può accadere solo se <math>\overrightarrow{F}</math> è parallelo a <math>\overrightarrow{r}</math>, cioè è diretto come la congiungente con il Sole.
== Terza Legge (Legge dei periodi, 1619) ==
| |||