Equazione di Dirac: differenze tra le versioni
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L<nowiki>'</nowiki>'''equazione di Dirac''' è l'[[Equazione delle onde|equazione d'onda]] che descrive in modo [[Relatività ristretta|relativisticamente]] [[Invarianza (fisica)|invariante]] il moto dei [[fermione|fermioni]].
È stata formulata nel [[1928]] da [[Paul Dirac]] nel tentativo di ovviare agli inconvenienti generati dall'[[equazione di Klein-Gordon]] (la più immediata formulazione relativistica dell'[[equazione di Schrödinger]]), che presenta una difficoltà nell'interpretazione della [[funzione d'onda]] portando a [[Funzione di densità di probabilità|densità di probabilità]] che possono essere anche negative o [[
L'equazione di Dirac descrive le particelle mediante uno [[spinore]] composto da quattro funzioni d'onda ([[spinore di Dirac]]), naturale estensione dello spinore a due componenti non relativistico. È stata un passo fondamentale verso una teoria unificata dei principi della [[meccanica quantistica]] e della [[relatività ristretta]] (cosiddetta [[Teoria quantistica dei campi|meccanica quantistica relativistica]]), permettendo di definire una [[Funzione di densità di probabilità|densità di probabilità]] sempre positiva. Inoltre ha consentito di spiegare la [[struttura fine]] dello spettro dell'[[atomo di idrogeno]] e il [[Rapporto giromagnetico|fattore giromagnetico]] dell'[[elettrone]].
Anche l'equazione di Dirac ammette soluzioni a energia negativa. Dirac ipotizzò l'esistenza di un mare infinito di particelle che occupano gli stati a energia negativa, inaccessibili per via del [[principio di esclusione di Pauli]] ([[mare di Dirac]]). Dopo lo sviluppo della [[teoria quantistica dei campi]] tali stati furono identificati con le [[Antiparticella|antiparticelle]], legate alle particelle ordinarie attraverso la [[simmetria CPT]], risolvendo alcuni paradossi originati dall'ipotesi del mare di Dirac.
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=== Inconvenienti ===
Il vantaggio dell'equazione di Klein-Gordon è quello di trattare [[
:<math> | \psi \left ( \vec r , t \right ) |^2 = \rho \left ( \vec r , t \right )_{S} </math>
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:<math>\partial^{\mu} J_\mu = 0</math>.
Tuttavia la densità ''ρ<sub>KG</sub>'' non è sempre definita positiva, ma può anche essere negativa o [[
Si osservi per i bosoni massivi con [[spin]] 1, le equazioni del campo sono descritte dalla [[Lagrangiana di Proca]].
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</math>
(Nell'ultimo passaggio abbiamo usato la definizione di [[Commutatore (matematica)|anticommutatore]] ed il fatto che il prodotto di due [[Tensore|tensori]] può esser scritto come la metà della somma commutatore anticommutatore)
Il tensore <math> p_i p_j </math> è simmetrico, per questo annulla il commutatore <math>\alpha</math> quindi rimane
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:<math> \{ \alpha_i,\alpha_j \} = 2 \delta_{i,j} </math>
Appare evidente, pertanto, che questi coefficienti sono in realtà [[matrice|matrici]] e non [[numero|numeri]]. La prima scelta potrebbero essere le [[matrici di Pauli]], che però sono tre, mentre le matrici da determinare sono 4. Si può suggerire, allora, di creare una base matriciale composta dalle tre matrici di Pauli con l'aggiunta dell'[[
:<math>\alpha_x = \begin{pmatrix} 0 & \sigma_x \\ \sigma_x & 0 \end{pmatrix}</math>
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:<math>\gamma^0 \equiv \beta , \gamma^i \equiv \beta \alpha^i</math>
l'equazione viene scritta con le gamma o [[Gamma di Dirac|matrici di Dirac]]:
:<math>\left ( i \gamma^\mu \partial_\mu -m \right ) \psi = 0</math>
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=== Proprietà dell'hamiltoniana di Dirac ===
L'hamiltoniana di Dirac per una particella libera, <math>H=\alpha_n p_n +m \beta</math>, non commuta con il [[
==== Commutazione con il momento angolare orbitale ====
Il momento angolare orbitale può essere scritto come <math> \vec L= \vec r \wedge \vec p </math>
Possiamo riscrivere la componente i-esima del momento come <math> L_i=\varepsilon_{i,j,k} r_j \cdot p_k</math>, in questa espressione vale la [[notazione di Einstein]] e <math>\varepsilon_{i,j,k}</math> è il tensore completamente antisimmetrico (o [[Simbolo di Levi-Civita|tensore di Levi-Civita]]) a tre indici (i,j,k).
Calcoliamo il [[commutatore (matematica)|commutatore]] con una componente del momento angolare:
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== Bibliografia ==
* {{Cita libro|autore=[[Richard Feynman|
* {{Cita libro|autore1=[[Claude Cohen-Tannoudji]]
*
* {{Cita libro|cognome=Feynman
*
* {{Cita web|autore1=[[Luciano Maiani]]
*
== Voci correlate ==
* [[Algebra di Clifford]]
* [[
* [[Equazione di Weyl]]
* [[Teoria quantistica dei campi]]
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== Collegamenti esterni ==
* {{Collegamenti esterni}}
*
* {{Cita web|autore=[[Roberto Casalbuoni]]
*
*
*{{cita web
*{{cita web|http://electron6.phys.utk.edu/qm2/modules/m9/dirac.htm|Dirac equation for a spin ½ particle|lingua=en}}
*
{{meccanica quantistica}}
{{Meccanica statistica}}
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