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Teorema del coseno: differenze tra le versioni

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== Il teorema ==
 
[[File:Triangolo con vertici, altezza e un angolo.png|right]]
Con riferimento alla figura a lato, si desidera trovare la lunghezza di un lato di un qualsiasi triangolo, essendo note le lunghezze degli altri due lati e l'ampiezza dell'angolo tra essi compreso. Si ha:
 
:<math>\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\cdot\overline{AC}\cdot\overline{BC}\cos\gamma.</math>
 
=== Dimostrazione con il teorema di Pitagora ===
Applicando il [[teorema di Pitagora]] al triangolo rettangolo ''<math>AHB'',</math> si ha:
 
:<math>\overline{AB}^2=\overline{AH}^2+\overline{BH}^2,</math>
 
dove <math>\overline{AB}</math> indica la lunghezza del segmento <math>AB.</math>. Risolvendo il triangolo rettangolo <math>AHC</math> si ha anche:
 
Risolvendo il triangolo rettangolo AHC si ha anche:
:<math>\overline{AH}=\overline{AC}\sin\gamma.</math>
 
Vale inoltre
 
:<math>\overline{BH}=\overline{BC}-\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.</math>
 
Sostituendo nella prima uguaglianza si ottiene:
 
:<math>\overline{AB}^2=\overline{AC}^2\sin^2\gamma+\overline{BC}^2+\overline{AC}^2\cos^2\gamma-2\overline{BC}\cdot\overline{AC}\cos\gamma.</math>.
Per la relazione fondamentale sin²&gamma;+cos²&gamma;=1, questa equazione può essere semplificata in:▼
 
▲Per la relazione fondamentale <math>\sin²&^2\gamma;+\cos²&^2\gamma;=1,</math> questa equazione può essere semplificata in:
 
:<math>\overline{AB}^2=\overline{AC}^2+\overline{BC}^2-2\overline{BC}\cdot\overline{AC}\cos\gamma.</math>
 
Nel caso di un [[triangolo rettangolo]], ovveroossia con &<math>\gamma;=90°\pi/2,</math> il quarto termine è nullo e si ricade nel [[teorema di Pitagora]], mentre se il triangolo è ottusangolo (&<math>\gamma;>90°\pi/2</math>) la dimostrazione procede allo stesso modo, con la principale differenza che in questo caso:
 
<!--
 
ATTENZIONE: Il triangolo è ottusangolo (e il segmento è non orientato)! Di conseguenza H è alla sinistra di B e il + è corretto.
 
-->
:<math>\overline{HC}=\overline{AC}\cos(\pi-\gamma)=-\overline{AC}\cos\gamma</math>
Line 37 ⟶ 38:
e quindi si trova nuovamente
 
:<math>\overline{BH}=\overline{BC}+\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.</math>
+
\overline{HC}=\overline{BC}-\overline{AC}\cos\gamma.</math>
<!--
 
ATTENZIONE
 
-->
 
=== Dimostrazione con vettori ===
Si considerino i vettori:
 
:<math>\vec a=\vec{AC};</math>
:<math>\vec b=\vec{BC};</math>
Line 53 ⟶ 48:
 
Si può quindi scrivere che:
 
:<math>\vec c=\vec a-\vec b.</math>
 
Calcolando il modulo al quadrato di ambo i membri si ottiene:
:<math>|\vec c|^2=|\vec a -\vec b|^2 = (\vec a - \vec b)\cdot (\vec a - \vec b)</math>
:<math>|\vec c|^{\,2}=|\vec a|^{\,2} +|\vec b|^{\,2}-2\vec a \cdot \vec b</math>,
 
dove :<math>{|\vec a} \cdot {\vec b}</math> è il prodotto scalare tra <math>c|^2=|\vec a</math> e <math>-\vec b</math>.|^2 Usando= infine il fatto che <math>{(\vec a} \cdot- {\vec b})\cdot = |(\vec a| |- \vec b| \cos (\gamma),</math> si ricava
:<math>|\vec c|^{\,2}=|\vec a|^{\,2} +|\vec b|^{\,2}-2ab2\vec a \cdot \mathrm{{cos}}(\gamma)vec b,</math>.
 
dove <math>{\vec a} \cdot {\vec b}</math> è il prodotto scalare tra <math>\vec a</math> e <math>\vec b</math>. Usando infine il fatto che <math>{\vec a} \cdot {\vec b} = |\vec a| |\vec b| \cos (\gamma)</math> si ricava
 
:<math>c^2=a^2 +b^2-2ab\cdot\mathrm{{cos}}(\gamma).</math>
 
== Voci correlate ==
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_coseno"