E'È figlia dello scrittore [[Ennio Bìspuri]] e sorella del fotografo [[Valerio Bispuri]].<ref>{{Cita web|url=https://www.huffingtonpost.it/giuseppe-fantasia/quattro-chiacchiere-laura-valerio-bispuri-cinema-fotografia-racconti-vita_b_6730364.html|titolo=Quattro chiacchiere con Laura e Valerio Bispuri, tra cinema, fotografia e racconti di vita|sito=L'HuffPost|data=2015-02-23|lingua=it|accesso=2019-11-30}}</ref> Si è laureata in cinema presso l'[[Università degli Studi di Roma "La Sapienza"]]. Ha al suo attivo due lungometraggi e vari cortometraggi. Nel 2010 ha girato ''Passing Time'', che ha vinto il [[David di Donatello (premio)|David di Donatello]] come migliore cortometraggio.<ref>{{cita web|url=http://www.apuliafilmcommission.it/news/passing-time-selezionato-in-italia-e-europa|titolo=“Passing Time” selezionato in Italia e Europa|editore=http://www.apuliafilmcommission.it/}}</ref>
Nel 2011 ha poi girato il corto ''Biondina'', con il quale ha vinto il [[Nastro d'argento]] come talento emergente dell’anno.<ref>{{cita web|url=https://pro.festivalscope.com/director/bispuri-laura|titolo=Biography of Laura Bispuri|editore=festivalscope.com|accesso=15 febbraio 2018|urlarchivio=https://web.archive.org/web/20180215204212/https://pro.festivalscope.com/director/bispuri-laura|dataarchivio=15 febbraio 2018|urlmorto=sì}}</ref>
