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Versore: differenze tra le versioni

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va bene la definizione rigorosa in matematichese ma a fianco la traduzione in italiano corrente sarebbe meglio, opinione personale
scrivo meglio
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{{F|matematica|luglio 2017}}
In [[matematica]], un ''' versore''' è un [[vettore (matematica)|vettore]] in uno [[spazio normato]] di [[norma (matematica)|modulo]] unitario,uguale ad 1. Un versore è utilizzato per indicare una particolare direzione e verso, ossia un vettore che ha modulo uguale ad 1.
 
Dato un qualunque vettore <math>\mathbf{v}</math> (diverso dal vettore nullo che è l'unico ad avere modulo pari a zero) è possibile formarne un versore moltiplicandolo per il reciproco del suo modulo:
 
:<math>\hat{\mathbf v} = \frac {\mathbf{v}}{\lVert\mathbf{v}\rVert}.</math>
 
== Esempi ==
 
Esempi di versori comunemente utilizzati sono:
* iI versori associati agli [[assi cartesiani]] nello spazio: sono una terna di vettori di modulo unitario, ognuno parallelo ad uno degli assi coordinati. Sono indicati equivalentemente con:
:# <math>\hat{\imath},\ \hat{\jmath},\ \hat {k} ;</math>
:# <math>\mathbf{e}_x,\ \mathbf{e}_y,\ \mathbf{e}_z ;</math>
:# <math>\mathbf{e}_1,\ \mathbf{e}_2,\ \mathbf{e}_3 ;</math>
:# <math>\hat{\mathbf{x}},\ \hat{\mathbf{y}},\ \hat{\mathbf{z}} ;</math>
:# <math>\mathbf{x}_0,\ \mathbf{y}_0,\ \mathbf{z}_0 ;</math>
:# <math>\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\0 \end{bmatrix},\ \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\1 \end{bmatrix} .</math>
* I versori associati agli assi cartesiani nel piano: analoghi dei precedenti. Sono indicati come i precedenti, con l'eccezione che il terzo versore è mancante (e nel sesto caso sono presenti solo due componenti in ognuno dei due vettori rimanenti).
 
* iI versori associati agliad assiun cartesianisistema neldi piano:[[coordinate analoghipolari]] deinel precedenti.piano, Sonoche indicatiindicano comela idirezione precedenti,radiale coned l'eccezioneangolare. cheSi ilpossono terzoindicare versoreequivalentemente è mancante.con:
:# <math>\hat{\mathbf{t}r},\ \hat{\mathbf{n}theta} ;</math>▼
* i versori associati ad un sistema di [[coordinate polari]] nel piano, che indicano la direzione radiale ed angolare. Si possono indicare con:
:# <math>\hat{\mathbf{r}},\ \hat{\boldsymbol{\theta} };</math>
:# <math>\hat{\mathbf{r}e}_r,\ \hatmathbf{\boldsymbole}_{\theta}} ;</math>
:# <math>\mathbf{er}_r_0,\ \mathbf{e}_boldsymbol{\theta} _0.</math>
* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano conspesso nei seguenti tre modi equivalenti:▼
:# <math>\mathbf{r}_0,\ \boldsymbol{\theta}_0 </math>
:# <math>\hat{\mathbf{vt}}' \cdot, \hat{\mathbf{v}n}=0;</math>▼
 
:# <math>\hat{\mathbf{vt}} \cdot ,\hat{\mathbf{vn}} = 1;</math>▼
▲* Data una curva nel piano, per ogni punto di essa è possibile considerare il versore [[tangente (matematica)|tangente]] e il versore [[perpendicolarità|normale]]. Si indicano con:
:# <math>\hatmathbf{te}_t,\ \hatmathbf{ne} _n.</math>
▲:# <math>\hat{\mathbf{t}},\ \hat{\mathbf{n}} </math>
:# <math>\mathbf{e}_t,\ \mathbf{e}_n </math>
 
==Derivata di un versore==
{{vedi anche|derivata}}
Sia <math>\hat{\mathbf{v}}(t)</math> un versore dipendente dal tempo. Se consideriamo il [[prodotto scalare]] di questo vettore per se stesso abbiamo:
 
:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = \left|\hat{\mathbf{v}}\right|^2</math>
 
e ricordando che i versori hanno modulo unitario: si ha
▲:<math>\hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}} = 1</math>
 
:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 01.</math>▼
 
Prendendo quest'ultima espressione, e derivandola membro a membro rispetto al tempo otteniamo:
 
▲:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} + \hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{\mathbf{v}}' = 0</math>
:<math>\hat{\mathbf{v}}(t)' =\cdot \theta(t),\hat{\thetamathbf{v}} + 1\,hat{\mathbf{v}} \cdot \hat{r\mathbf{v}}' = 0.</math>▼
 
Data la commutatività del prodotto scalare
 
:<math>2\left( \hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}} \right)=0</math>
▲:# <math>\hat{\mathbf{ev}_t,}' \ cdot \hat{\mathbf{ev}_n }=0.</math>
 
Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.▼
▲:<math>\hat{\mathbf{v}}' \cdot \hat{\mathbf{v}}=0</math>
▲Poiché deve essere nullo il prodotto scalare di <math>\hat{\mathbf{v}}'\cdot\hat{\mathbf{v}}</math>, si evince che la [[derivata]] di un versore è sempre [[perpendicolare]] al versore stesso. Ciò in quanto il prodotto scalare può anche essere visto come la [[proiezione (geometria)|proiezione]] di un vettore sull'altro, che si annulla se e solo se i due vettori sono appunto perpendicolari.
 
La derivata di un versore, in generale, non è un versore; per dimostrarlo basta considerare il generico versore in coordinate polari:
 
▲:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \theta(t),\hat\theta + 1\,\hat{r}</math>
:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath}theta + \cos(\theta(t))1\,\hat{\jmathr}),</math>▼
 
che in coordinate cartesiane diviene:
 
:<math>\hat{\mathbf{v}}(t) = \cos\left(\theta(t)\right)\,\hat{\imath} + \sin\left(\theta(t)\right)\,\hat{\jmath}.</math>
derivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:▼
 
▲:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath})</math>
▲derivandoDerivando rispetto a <math>t</math> si ottiene:
dove il termine ▼
 
:<math>\hat{\mathbf{v}}'(t) = \theta'(t)(-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}),</math>
 
▲dove il termine
 
:<math>-\sin(\theta(t))\,\hat{\imath} + \cos(\theta(t))\,\hat{\jmath}</math>
è il versore ortogonale di modulo unitario,
 
è il versore ortogonale di modulo unitario, e dove il termine:
 
:<math>\theta'(t)</math>
 
Estratto da "https://it.wikipedia.org/wiki/Versore"