Estensione di anelli: differenze tra le versioni
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In [[teoria degli anelli]], una branca della [[matematica]], un''''estensione di anelli''' è una coppia di [[anello (algebra)|anelli]] (''R'', ''S'') contenuti l'uno nell'altro, cioè <math>R\subseteq S</math>. Tale situazione si indicherà con ''R/S''<ref name=quoz>Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio al [[insieme quoziente]], come invece si fa per la creazione ad esempio dell'[[anello quoziente]]
A partire da un estensione di anelli ''R/S'' e da un sottoinsieme ''B'' di ''R'', è possibile costruire il più piccolo sottoanello di ''R'' contenente sia ''S'' che ''B'': tale anello si indica con ''S[B] '' e si può dimostrare che coincide con l’insieme delle possibili combinazioni di elementi di <math>S\cup A</math> mediante le operazioni di anello (somma e prodotto) di ''R''.
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Se esiste un [[insieme finito]] <math>B=\{b_1,\ldots,b_n\}</math> tale che <math>R=S[B]</math> l’estensione ''R/S'' si dice ''finitamente generata''.
Particolari tipi di estensioni di anelli sono le [[estensione di campo|estensioni di campi]]. Si può provare che se ''R/K'' è un'estensione di anelli in cui ''K'' è un [[campo (matematica)|campo]] ed ''R=K[A]'' per qualche insieme ''A'' di [[elemento algebrico|elementi algebrici]] su ''K'', allora anche ''R'' è un campo, precisamente il campo ''K(A)'' che si ottiene aggiungendo gli elementi di ''A'' a ''K'', e dunque ''R/K'' è un'estensione di campi.
==Voci correlate==
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