Estensione di campi: differenze tra le versioni

In maniera precisa, definiamo una '''estensione di campi''' come una coppia di [[campo (matematica)|campi]] ( ''K'', ''L'' ) tale che <math>''K\subseteq'' ⊆ ''L</math>'' (cioè ''K'' è un sottocampo di ''L''): tale situazione si indicherà con ''L'' / ''K''<ref name=quoz>Occorre precisare che in questo caso non si sta compiendo alcuna operazione di passaggio al [[insieme quoziente]], come invece si fa per la creazione ad esempio dell'[[anello quoziente]]. Per tale motivo alcuni autori preferiscono la scrittura ''L'' : ''K''</ref>

Se ''L'' / ''K'' è un'estensione di campi, allora su ''L'' si può definite una moltiplicazione <math>''L\'' &times; ''K'' \to&rarr; ''L</math>'', che non è altro che la moltiplicazione di ''L'' come campo ottenuta restringendo il secondo argomento a ''K''. Considerando questa moltiplicazione per gli "scalari" di ''K'' e la somma usuale di ''L'', otteniamo una struttura di [[spazio vettoriale]] sopra ''K''. La [[dimensione (spazio vettoriale)|dimensione]] di questo spazio vettoriale si denota con <math>[ ''L'' : ''K'' ]</math> e si dice '''grado dell'estensione'''. Se tale grado è finito o infinito l'estensione si dirà rispettivamente '''finita''' o '''infinita'''.

Se ''F'' è un intercampo dell’estensione ''L'' / ''K'' (cioè un sottocampo di ''L'' tale che <math>''L\supseteq'' ⊆ ''F'' \supseteq⊆ ''K</math>'') allora vale la formula del prodotto dei gradi,

:<math>[ ''L'' : ''K'' ] = [ ''L'' : ''F'' ] [ ''F'' : ''K'' ],</math>

Data l'estensione ''L'' / ''K'' e un [[sottoinsieme]] ''A'' di ''L'', si indica con ''K'' ( ''A)'' ) il più piccolo sottocampo di ''L'' che contiene ''K'' e ''A'' (e sarà dunque anch'esso un estensione del campo ''K'') e si dice che ''K'' ( ''A)'' ) è ottenuto da ''K'' per ''aggiunta'' degli elementi di ''A''. Questi elementi sono detti generatori dell’estensione ''L'' / ''K''.

Si prova che l’estensione ''K'' ( ''A'' ) / ''K'' risulta essere composta da tutti gli elementi di ''L'' che si possono ottenere mediante ripetizione delle operazioni di campo di ''L'' (somma, prodotto e inverso) tra elementi di <math>''K\cup'' ∪ ''A</math>''.

Un’estensioneUn'estensione di campi ''L'' / ''K'' tale che esiste un [[insieme finito]] <math>''A'' =\ {a_1 ''a''₁,\ldots...,a_n\} ''a''<sub>n</mathsub> } con <math>''L'' = ''K'' ( ''A'' )</math> si dice '''finitamente generata''' e si scrive <math>''L'' = ''K'' (a_1 ''a''₁,\ldots...,a_n) ''a''<sub>n</mathsub> ). Se poi <math> ''L'' = ''K'' (a ''A'' )</math> per un qualche elemento ''a'' di ''L'' l’estensione si dice '''semplice'''.

Per molti settori della teoria dei campi, come ad esempio la [[teoria di Galois]], una notevole importanza hanno le '''[[estensione algebrica|estensioni algebriche]]''', ossia le estensioni ''L'' / ''K'' tali che ogni elemento di ''L'' è radice di un polinomio in ''K'' [ ''X]''. ].

Usando il [[lemma di Zorn]] è possibile dimostrare che ogni campo ha una [[chiusura algebrica]], cioè un’estensioneun'estensione algebrica [[campo algebricamente chiuso|algebricamente chiusa]] (ad esempio <math>\mathbb{'''C}</math>''' è la chiusura algebrica di <math>\'''R</math>''').

Delle importanti estensioni algebriche, sono le [[estensione di Galois|estensioni di Galois]], cioè estensioni algebriche ''L'' / ''K'' il cui [[gruppo di Galois]] lascia [[punto fisso|fisso]] solo il campo ''K''.